Đề thi chọn đội tuyển học giỏi thành phố Hà nội năm học 2009 - 2010 môn thi: Toán

Kỳ thi chọn đội tuyển học giỏi
Thành phố hà nội năm học 2009 - 2010
Môn thi: Toán
Ngày thi 02 -12 - 2009
Thời gian làm bài 180 phút
Bài I: (4 điểm)
Tìm số nguyên tố p và các số nguyên dương x, y thỏa mãn: x3 + y3 = p4.
Bài II: (4 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E. Giao điểm
của BE với đường phân giác của góc BAC là D. Gọi d là đường thẳng qua điểm
D và song song với AB, d cắt BC tại F . Giao điểm của AF và BE làM . Chứng
minh rằng M là trung điểm của BE.
Bài III: (4 điểm)
Giải hệ phương trình sau:
√
x2 + 5 = y2 −
√
y − 1√
y2 + 5 = z2 −√z − 1√
z2 + 5 = x2 −√x− 1
Bài IV: (4 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A
(−3
2
; 0
)
, B
(−1
2
; 0
)
, C
(3
2
; 0
)
.
Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn:{
cot ÂMB. cot B̂MC = 1
cot ÂMB + cot B̂MC = 3
Bài V: (4 điểm)
Cho dãy số
(
Un
)
xác định bởi công thức:{
U1 = p > 0; U2 = q > 0
Un+2 =
3
√
Un+1 +
3
√
Un (với n ≥ 1)
Chứng minh rằng dãy số này có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.