Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp thành phố Thanh Hóa năm học 2013 – 2014 - Môn Toán lớp 9

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ÐÀO TẠO
THÀNH PHỐ THANH HÓA
THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2013 – 2014 - MÔN TOÁN- LỚP 9
Ðề chính thức
 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ðề thi gồm có: 01 trang
Ngày thi: 09 tháng 01 năm 2014
ÐỀ BÀI
Bài 1 (4,0 điểm)
a, Cho ba số x, y, z khác không và 
 Tính giá trị biểu thức 
b, Cho biểu thức 
	Rút gọn B rồi chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x, biểu thức B không thể nhận giá trị nguyên.
Bài 2 (4,0 điểm)
	a, Khi chia đa thức f(x) cho x - 2 thì dư 2013, khi chia cho x - 3 thì dư 2014, còn khi chia cho (x - 2)(x - 3) thì được thương là x2 - 1 và còn dư. Tìm đa thức f(x).
	b, Cho n số x1, x2, x3, . . . , xn mỗi số bằng 1 hoặc -1. Biết rằng tổng của n cặp số x1x2, x2x3, x3x4 , . . . , xnx1 bằng 0. Chứng minh rằng n chia hết cho 4.
Bài 3 (4,0 điểm)
	a, Giải hệ phương trình 
	b, Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức C = x + y biết
	x2 + 3y2 + 2xy - 10x - 14y + 18 = 0
Bài 4 (4,0 điểm)
	Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Gọi H là trung điểm của BC, E là hình chiếu của H trên AC và M là trung điểm của HE.
	a, Chứng minh AM vuông góc với BE.
	b, Khi AC = 5CE và N là điểm đối xứng với M qua H. Tính số đo .
Bài 5 (4,0 điểm)
Cho góc =450 quay xung quanh một điểm A cố định. Từ điểm B cố định vẽ BM và BN lần lượt vuông góc với Ax và Ay (M Ax, N Ay). Gọi E và F thứ tự là giao điểm của BM với Ay và BN với Ax.
a, Chứng minh EF có độ dài không đổi và EF song song với một đường thẳng cố định.
b, Khi quay xung quanh điểm A thì trung điểm I của EF nằm trên đường nào.
(HẾT)
Phòng thi: ...............................Số báo danh: ................ Họ tên thí sinh: .......................................................
Họ tên, chữ ký giám thị 1: ......................................................................................................................................
Họ tên, chữ ký giám thị 2: ......................................................................................................................................
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ THANH HÓA
THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2013 – 2014
	HƯỚNG DẪN CHẤM - MÔN TOÁN- LỚP 9
Bài 1 (4 điểm)
a, + Theo bài ra x, y, z là ba số khác 0 và => 
=> => (1,0 điểm)
 + Ta có 	 (1,0 điểm)
b, + Nhận thấy: 
Tương tự 	
Ta có 	 
 Điều kiện để B có nghĩa là : 	(0,5 điểm)
+ Rút gọn :
	Với thì 	
	Với thì 	(1,0 điểm)
+ Giả sử với mọi giá trị nguyên của x biểu thức B cũng nhận giá trị nguyên. Từ điều kiện trên ta chỉ xét những giá trị nguyên của . Khi đó nguyên, suy ra
 4x - 1 phải là số chính phương lẻ. Do đó có dạng 4x - 1 = (2k + 1)2 với k Z, suy ra 
 4x - 1 = 4k2 + 4k + 1 hay 4x - 4k2  4k = 2 => 4(x - k2 - k) = 2 đây là điều vô lí.
Vậy với mọi giá trị nguyên của x thì biểu thức B không thể nhận giá trị nguyên.
	(ĐPCM)	(0,5 điểm)
Bài 2 (4 điểm)
a, + Gọi thương của phép chia đa thức f(x) cho x - 2 là đa thức A(x) , ta có
	f(x) = (x - 2) A(x) + 2013 đúng với mọi x	(1)
Gọi thương của phép chia đa thức f(x) cho x - 3 là đa thức B(x) , ta có
f(x) = (x - 3) B(x) + 2014 đúng với mọi x	(2)
 Gọi phần dư của phép chia đa thức f(x) cho (x - 2)(x - 3) là R(x). Vì đa thức chia là 
(x - 2)(x - 3) là một đa thức bậc hai, nên đa thức dư R(x) là đa thức bậc nhất và có dạng 
R(x) = ax + b, ta có 
 f(x) = (x - 2)(x - 3)(x2 - 1) + (ax + b) đúng với mọi x	(3)	 (1,0 điểm)
 + Với x = 2 thay vào (1), (3) ta được : 2a + b = 2013
 Với x = 3 thay vào (2), (3) ta được : 3a + b = 2014
 Giải hệ : tìm được 	 (0,5 điểm)
 + Thay a = 1 ; b = 2011 vào (3), đa thức cần tìm là
	 f(x) = (x - 2)(x - 3)(x2 - 1) + (x + 2011)
	 = x4 - 5x3 + 5x2 + 6x + 2005	 (0,5 điểm)
b, + Theo bài ra, mỗi số x1, x2, x3, . . . , xn mỗi số bằng 1 hoặc -1.
 Suy ra mỗi cặp số x1x2, x2x3, x3x4 , . . . , xnx1 cũng có giá trị bằng 1 hoặc -1.	 (0,5 điểm)
 + Theo bài ra: x1x2 + x2x3 + x3x4 + . . . + xnx1 = 0 . Suy ra số cặp có giá trị bằng 1 luôn luôn bằng số cặp có giá trị bằng -1 và đều bằng cặp. Do đó n chia hết cho 2.	 (0,5 điểm)
 + Tiếp theo ta cần chứng minh số cặp có giá trị bằng -1 là một số chẵn ( tức chẵn)
 Thật vậy, xét tích của n cặp số đã cho 
(x1x2)(x2x3)(x3x4) . . . . .(xnx1) = x12x22x32. . . . . xn2 =1 > 0	 (0,5 điểm)
 Điều này chứng tỏ số cặp có giá trị bằng -1 là một số chẵn, suy ra chẵn.
 Do đó n chia hết cho 4.	(ĐPCM)	 (0,5 điểm)
Bài 3 (4 điểm)
 a, + Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình:
 	 (0,5 điểm)
+ Đặt 	điều kiện u-1 (1) 	Hệ phương trình đã cho trở thành
	 Giải ra ta tìm được ; (1,0 điểm)
+ Kết hợp với điều kiện u-1, nên ta chọn và thay vào (1) ta được
 Giải ta tìm được 	; 
	Đây là hai nghiệm của hệ phương trình đã cho	 (0,5 điểm)
 b, + Theo bài ra ta có:
	(x2 + y2 + 25 + 2xy - 2x 5 - 2y 5) + 2y2 - 4y - 7 = 0
	(x + y - 5)2 + 2(y2 - 2y) - 7 = 0
(x + y - 5)2 + 2(y2 - 2y + 1) - 9 = 0
(x + y - 5)2 + 2(y - 1)2 - 9 = 0
(x + y - 5)2 = 9 - 2(y - 1)2	(1)	(1,0 điểm)
	 + Vì 2(y - 1)2 0 nên từ (1) suy ra (x + y - 5)2 9 => 
	 => hay (2)	(0,5 điểm)
	 + Từ (2) suy ra: max A = 8 	x = 7; y = 1
	 Từ (2) suy ra: min A = 2 x = 1; y = 1	(0,5 điểm)
Bài 4 (4 điểm)
a, + Gọi F là trung điểm của EC, nối MF.
	 Xét DEHC, chứng minh được MF//HC, mà HC ^ AH, suy ra MF^AH.	(1,0 điểm)
	+ Xét DAHF, chứng minh được M là trực tâm, suy ra AM ^ HF. (1)	(1,0điểm)	+ Xét 	DBEC, chứng minh được BE // HF (2)
 Từ (1) và (2) suy ra AM ^ BE (ĐPCM)	(1,0 điểm)
b, + Xét DAHC có =1v và HE là đường cao nên AE . EC = HE2
	 Theo bài ra AC = 5CE, nên AE = 4EC, do đó 4EC . EC = HE2 => 2EC = HE
	+ Vẽ hình vuông EMPQ, nối NP và CP.
	 Chứng minh được DMNP = DQPC (hai cạnh góc vuông bằng nhau)
 => NP=CP (1) và 
 Vì hình vuông EMPQ có:
=> (2)
	 Từ (1) và (2) suy ra DNPC vuông cân, do đó (3)
	+ Mặt khác DMNP = DEHC (hai cạnh góc vuông bằng nhau) nên (4)
	+ Từ (3) và (4) ta tính được : 	 (1,0 điểm)
Bài 5 (4 điểm)
450
a, + Chứng minh được DANF vuông cân, suy ra AN = FN.
 Chứng minh được B là trực tâm của DAEF, suy ra EF^AB.
Vì AN = FN, , , suy ra DANB=DFNE
Do đó EF = AB, mà A, B cố định nên AB có độ dài không đổi.
Vì vậy EF cũng có độ dài không đổi.	(ĐPCM)	 (1,0 điểm)
+ Do A, B cố định nên AB cũng cố định. Qua điểm A kẻ đường thẳng d ^ AB nên đường thẳng d cũng cố định.
Mà EF^ AB (chứng minh trên). Do đó EF//d.
Vậy EF luôn luôn song song với đường thẳng d cố định. 	(ĐPCM)	 (1,0 điểm)
b, + Vì I là trung điểm của EF nên chứng minh được 
	Gọi O là trung điểm của AB nên chứng minh được 
Suy ra IM = IN = OM = ON. Lại chứng minh được 
	Do đó tứ giác OMIN là hình vuông, suy ra OI = MN
	Xét DMON, ta tính được 	 (1,0 điểm)	
 + Do vậy . Ta nhận thấy do A, B cố định nên trung điểm O của AB cũng cố định, độ dài là không đổi. Nêntrung điểm I của EF luôn luôn nằm trên đường tròn tâm O cố định, bán kính bằng không đổi khi góc quay xung quanh điểm A. (1,0 điểm) 
(hÕt)
L­u ý: 	- C¸c c¸ch gi¶i kh¸c ®óng cho ®iÓm t­¬ng ®­¬ng.
- NÕu kh«ng vÏ h×nh hoÆc vÏ sai bµi 4, bµi 5 th× kh«ng chÊm ®iÓm.