Đề Thi Chọn Đội Tuyển Học Sinh Giỏi Dự Thi Quốc Gia Tỉnh Đắk Lắk Toán 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2010 - 2011
 TỈNH ĐẮK LẮK	 MÔN: TOÁN 12 – THPT
	Thời gian làm bài: 180 phút(không kể thời gian giao đề)
	 Ngày thi: 30/11/2010
Bài 1(2,0 điểm).	
	Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C đều là góc nhọn. Chứng minh rằng:
Bài 2(3,0 điểm).
	Trên các cạnh của một tam giác ABC, dựng về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều A’BC, B’CA, C’AB. Gọi A0, A1, B0, B1, C0, C1 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, B’C’, CA, C’A’, AB, A’B’ của hai tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng các đoạn thẳng A0A1, B0B1, C0C1 đồng qui và bằng nhau. 	
Bài 3(3,0 điểm).
	Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Tìm ước chung lớn nhất của các số:
Bài 4(3,0 điểm).
	Cho hai số thực dương a, b và a > b. Hai dãy số (un) và (vn) được thành lập như sau: u1 = a; v1 = b; ; với n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng:
	1) Hai dãy số trên bị chặn.
	2) 
Bài 5(3,0 điểm).
	Cho hàm số , với a là một số thực dương.
 Tính tổng:
	S= 
Bài 6(3,0 điểm).
Chứng minh bất đẳng thức: 
Bài 7(3,0 điểm).
	Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định trên đường tròn đó. Một điểm M di chuyển trên đường tròn (O;R), hai tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại điểm M và tại điểm A cắt nhau ở điểm P. Một đường tròn (O1; R1) đi qua điểm M và tiếp xúc với AP tại điểm P. Chứng minh rằng khi M di chuyển trên đường tròn (O;R), đường tròn (O1;R1) luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. 
---------------------- Hết ---------------------------
Họ và tên thí sinh_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Số báo danh_ _ _ _ _ _ _ _ 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
 TỈNH ĐẮK LẮK	 MÔN: TOÁN 12 – THPT
ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
Bài 1(2,0 điểm).
Chứng minh:
	 .
+/ Vì A, B, C là ba góc của một tam giác nên sin của các góc đó dương, vậy:
 	. 	(0.5 điểm)
Mặt khác:
=
=====.	(0.5 điểm)
(Vì các góc A, B, C nhọn nên cosA, cosB, cosC dương), do đó: sinA+sinB+sinC>2
+/ Ta có: (sinA + sinB) + (sinC + sin)=
=
, suy ra: sinA + sinB +sinC 	(1.0 điểm)
(Nếu thí sinh áp dụng bất đẳng thức JenSen nhưng có dùng đạo hàm để chứng minh là hàm lồi thì vẫn cho điểm tối đa, nếu không chứng minh hàm lồi thì cho nửa số điểm).
Bài 2(3,0 điểm).
	+/ Ta chứng minh AA’, BB’, CC’ đồng qui và bằng nhau:
Gọi I là giao điểm của AA’ và BB’, sử dụng phép quay tâm C góc quay +600 ta có B’ biến thành A và B biến thành A’, nên B’B biến thành AA’ suy ra: B’B=AA’ và góc(B’B,AA’) = 600, vậy góc =600. Trên tia IA’ lấy I1 sao cho I I1= IB, nên tam giác IBI1 đều. Sử dụng phép quay tâm B, góc quay 600, thì A’ biến thành C, A biến thành C’ và I1 biến thành I, do đó A’A = CC’, vì A, I1, A’ thẳng hàng, nên C, I, C’ thẳng hàng hay A’A cắt CC’ tại I, từ đó AA’, BB’, CC’ đồng qui và bằng nhau.	(1.0 điểm)	
+/ Ta chứng minh các tam giác ABC, A0B0C0, A’B’C’ và A1B1C1 có cùng trọng tâm G 
 - Xét hai tam giác ABC và C’B’A’, ta đi chứng minh (hình 1) 
 A
 B’
 C’
 C
 B
 A’
Lấy điểm O, và gọi các điểm B*, C*, A* sao cho ; ; 
Và ;; (hình 2). Sử dụng phép quay tâm O, góc quay +600, ta có C2 biến thành B*, A2 biến thành C*, B2 biến thành A*, nghĩa là: 
 A* B2
 C* 
 O
 C2 
 A2
 B*
(hình 2)
; ; ; vậy: ; ; , do đó:
, vì phép quay là tương ứng 1–1, nên , suy ra trọng tâm hai tam giác ABC, A’B’C’ trùng nhau:
	(1.0 điểm)
	Hai tam giác còn lại là hai bài toán cơ bản, mỗi trường hợp (0,25 điểm)
	- Sử dụng phép vị tự tâm G, hệ số , biến các đoạn thẳng AA’, BB’ và CC’ lần lượt thành các đoạn thẳng A0A1, B0B1, C0C1 suy ra điều phải chứng minh.	(0,50 điểm)
Hình toàn bài
 C’
 A
 A1
 B’
 C0 B0
 I 
 B1 C
 B A0 
 C1
 I1
 A’
Bài 3(3,0 điểm).
Ta có: (1)
Thay x = -1 vào (1) ta có: 
Thay x = 1 vào (1) ta có: 
Vậy: 	(0,5 điểm)
Như vậy mọi ước chung của các số có dạng 2p, ta cần tìm số tự nhiên p lớn nhất có thể . 	(0,5 điểm)
Giả sử n = 2k.q, trong đó q là số lẻ , khi đó , nên ước chung của cac số đang xét , ta có: 	 (0,5 điểm)
	, vì số các tổ hợp là nguyên, p là số lẻ, nên 	chia hết cho 2k+1, tức là 	, trong đó Mp nguyên, p =1, 3, , 2n–1. Vậy 2k+1 là ước chung của các số đang xét và là ước chung lớn nhất.	(1,5 điểm)
Bài 4(3,0 điểm).
1) Ta có: u1 > v1 và theo bất đẳng thức Cauchy ta có u2 > v2, suy ra Do đó 
Giả sử n = k 2 các bất đẳng thức sau đều đúng: 
Với n = k+1 thì theo Cauchy: uk+2 > vk+2
Từ đó suy ra: Tức là dãy số (un) giảm và bị chặn dưới, nên bị chặn, dãy (vn) tăng bị chặn trên nên bị chặn. 	 (2,0 điểm)
2) Đặt , ta có: 
x = y.	 (1,0 điểm)
Bài 5(3,0 điểm). 
	Ta có: , suy ra +=
+	(1,0 điểm)
	Vì: S = 
	 S = 
	Do đó: 2S = 
 	(1,0 điểm)
	Mà = a2010
 	(0,5 điểm)
	Suy ra: 2S = (n+1) a2010 hay S =.	(0,5 điểm)
Bài 6(3,0 điểm).
Đặt f(x) nên 
f2(x) = 6 + 4(sinx+cosx) + 2, đặt t = sinx + cosx, với điều kiện ta có hàm số trên miền , ta có bảng biến thiên	(2,0 điểm)
 t 0 
g(t)
 4t2 + 8t + 4
 -4t2 + 8
 4t2 + 8t + 4
g’(t)
 8t+8
 -8t
 8t+8
Dấu g’(t)
 – 
 + 0 – 
 +
g(t)
Vậy ;	 (1,0 điểm)
, từ đó suy ra đpcm
Bài 7(3,0 điểm).
	B
 A P
 O
 O2 O1
 M
	 A’
 Q
+/ Kẻ đường kính AA’ của (O;R), lấy trên AA’ một điểm O2 sao cho O2A’ = . Ta đi chứng minh đường tròn (O2, ) chính là đường tròn cần tìm. (1,0 điểm).
+/ Kẻ đường kính PQ của (O1;R1), thì O, M, Q thẳng hàng, dễ thấy tam giác OQP cân tại Q, gọi B là điểm đối xứng của O qua A ta có hai tam giác QPO, POB đồng dạng với nhau suy ra , hay OP2 = 4RR1(1)	 (0,5 điểm).
+/ Do tam giác OAP vuông tại A nên OA2 + AP2 = OP2, kết hợp (1) ta có:
OA2 + AP2 = 4RR1 
 (đpcm)	 (1,5 điểm).
HƯỚNG DẪN CHẤM 
1/ Điểm của bài làm theo thang điểm 20, là tổng điểm của thành phần và không làm tròn số.
	2/ Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa phần đó. 
------------ HẾT ----------------