Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 - THPT năm học 2006 – 2007 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
 TP HỒ CHÍ MINH
 Kè THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 -THPT	
	Năm học 2006 – 2007
 MễN TOÁN 
	Thời gian làm bài : 180 phỳt 
ĐỀ CHÍNH THỨC (khụng kể thời gian phỏt đề)
Cõu 1 : (4 đ)
	Cho dóy số () thỏa : .
 	Chứng minh dóy số () cú giới hạn và tỡm giới hạn ấy.
Cõu 2 : (4 đ)
	Cholà cỏc số thực dương. Chứng minh :
Cõu 3 : (3 đ)
	Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn :
Cõu 4 : (3 đ) 
	Chứng minh rằng khụng tồn tại hàm sốliờn tục trờn R thỏa:
Cõu 5 : (3 đ)
	Tỡm tất cả cỏc đa thức với hệ số nguyờn thỏa:
Cõu 6 : (3 đ)
Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp trong đường trũn ( O ) cú hai đường phõn giỏc cỏc gúc C và D cắt nhau tại một điểm M nằm trờn cạnh AB. Chứng minh AB = BC + AD.
	HẾT
Đỏp ỏn đề thi học sinh giỏi thành phố vũng 2
Cõu 1: Cho dóy (xn) với x1=1, . Chứng minh cú giới hạn và tỡm giới hạn đú.
Giải
Hàm số liờn tục và nghịch biến trờn [0,+Ơ), 
Ta cú ị bị chặn
suy ra dóy đồng biến và dóynghịch biến suy ra là cỏc dóy hội tụ.
Giả sử 
Từ 
Từ 
Giải hệ phương trỡnh . Vậy 
Cõu 2: Cholà cỏc số thực dương. Chứng minh :
Giải
Ta cú 
 (a)
Ta cú (b) 
 (Đỳng)
(a) và (b) suy ra (1).
Cõu 3: Giải phương trỡnh nghiệm nguyờn
	 2.20073.x3 + 1 = y3.	(1)
Giải
Đặt a = 2007, ta được (1) Û 2a3x3 + 1 = y3
ỉ x = 0: Thay vào (1) ta được y = 1.
ỉ x ạ 0: (1) 	Û 8a3x3(2a3x3 + 1) = 8a3x3y3
	Û (4a3x3 + 1)2 = (2axy)3 + 1
Đặt 	6u = 4a3x3 = 4.20073.x3
	v = 2axy = 2.2007.xy
Ta cú: u, v ẻ Z, " x, y ẻ Z , x ạ 0 ị u ạ 0 và (1) trở thành:
	(6u + 1)2 = v3 + 1	(2)
" u ẻ Z, u ạ 0 ta cú:
	|6u + 1| ³ 6|u| – 1 ³ 5
ị 	(6u + 1)2 ³ 25 ị v3 + 1 ³ 25 ị v ³ 3
	(2) Û (6u + 1)2 = (v + 1)(v2 – v + 1)
Đặt d = (v + 1; v2 – v + 1). Do v2 – v + 1 = (v + 1)2 – 3(v + 1) + 3 ị d \ 3
Mà (6u + 1)2 khụng chia hết cho 3 ị d ạ 3 ị d = 1.
	(2) ị (m, n ẻ N*)
	Do v ³ 3 nờn ta cú v2 – v + 1 > (v – 1)2 và v2 – v + 1 < v2
	ị (vụ lý)
Vậy (1) cú đỳng một nghiệm nguyờn là (x; y) = (0; 1).
Cõu 4: Chứng minh rằng khụng tồn tại hàm số f: R đ R liờn tục thỏa:
f(60x – f(x)) = 2007x, " x ẻ R.
Giải
Giả sử tồn tại hàm số f: R đ R liờn tục thỏa:
	f(60x – f(x)) = 2007x, " x ẻ R.
Đặt g(x) = 60x – f(x) ta cú f(g(x)) = 2007x, " x ẻ R
+ f liờn tục trờn R ị g liờn tục trờn R.
+ " x1, x2 ẻ R, nếu g(x1) = g(x2) thỡ 
	f(g(x1)) = f(g(x2)) ị 2007x1 = 2007x2 ị x1 = x2. 
Vậy g là đơn ỏnh.
Ta cú: g liờn tục trờn R và g đơn ỏnh 
ị g đơn điệu trờn R (đơn điệu nghiờm ngặt)
g đơn điệu trờn R ị h(x) = g(g(x)) tăng trờn R.
Ta cú h(x) = g(g(x)) = 60g(x) – f(g(x)) = 60g(x) – 2007.x
ị g(x) = 
ị g(x) tăng trờn R.
h, g tăng trờn R ị k(x) = h(g(x)) tăng trờn R với:
k(x) = h(g(x)) 	= 60(g(g(x))) – 2007g(x)
	= 60[60g(x) – 2007x] – 2007g(x)
	= 1593g(x) – 120420x
k, g tăng trờn R ị l(x) = k(g(x)) tăng trờn R.
Mà l(x) = k(g(x)) = 1593g(g(x)) – 120420g(x)
	= 1593[60g(x) – 2007x] – 120420g(x)
	= –24840g(x) – 3197151x
ị l(x) + 24840g(x) = –3197151x
	(mõu thuẫn với l, g tăng trờn R)
Cõu 5: Tỡm tất cả cỏc đa thức Q(x) với hệ số nguyờn thỏa món điều kiện [Q(2x)]2 = 4[Q(x2) – xQ(2x)] ,"x ẻR (1)
Giải
[Q(2x)]2 = 4[Q(x2) – xQ(2x)] Û [Q(2x)]2 + 4xQ(2x) + 4x2 = 4Q(x2 ) + 4x2 Û [Q(2x) + 2x]2 = 4[Q(x2) + x2]
Đặt P(x) = Q(x) + x 
Ta được P(x) cú hệ số nguyờn và thỏa món [P(2x)]2 = 4P(x2), "x ẻR (2)
Trường hợp P(x) ≡ C (C là hằng số)
(2) C2 = 4C C =0 hoặc C = 4 suy ra Q(x) = -x hoặc Q(x) = 4 - x
Trường hợp degP(x) = n 1
Giả sử P(x) = anxn + an-1xn-1 + +a1x + a0 (an ạ 0, ai ẻZ với i=0,..,n). Thế P(x) vào phương trỡnh trờn ta được
[an(2x)n + an-1(2x)n-1 +a1.2x + a0]2 = 4(anx2n + an-1x2n-2 + +a1x2 + a0)
suy ra an2.22n = 4an ị an = 4/4n ị n = 1 (do an ẻ Z)
Với n = 1: a1 = 1 ị P(x) = x + a0 ị (2x + a0)2 = 4(x2 + a0) ị 4xa0 +a02 = 4a0 ị a0 = 0 ị P(x) = x 
ị Q(x)=0 (thỏa điều kiện).
Vậy cú tất cả 3 đa thức thỏa món điều kiện đó cho: Q(x) = 0; Q(x) = -x và Q(x) = 4 – x .
Cõu 6: Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn cú cỏc đường phõn giỏc gúc C và D cắt nhau tại điểm M thuộc cạnh AB. Chứng minh AB = BC + AD.
Giải
Bổ đề : Cho tứ giỏc ABCD cú M , N lần lượt trờn cỏc cạnh AB, CD sao cho . Chứng minh rằng 
Chứng minh bổ đề.
Gọi D’, N’, C’ là hỡnh chiếu vuụng gúc của D, N, C trờn AB.
Đặt 
Ta cú 
suy ra đpcm
Chứng minh bài toỏn.
Trường hợp AD//BC
ABCD là hỡnh thang cõn ị AB = CD.
Trờn DC ta lấy điểm N sao cho DN = DA ị DADM = DNDM 
ị MAD=MNDịCBM=CNMịNMC=BMC
ịCMN=CMBịCN=CBịAD+BC=CD=AB
Trường hợp AD cắt BC tại I suy ra M là tõm đường trũn bàng tiếp gúc I của DIDC Gọi H,K,L là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn AD,DC,CBị MH=MK=ML.
IM cắt CD tại N . Ta cú AMI=ABI+BIM=IDC+AIM=MNDịNN’=MK
theo bổ đề ta cú 
	HẾT