Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 vòng 2 môn: Toán

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12
VÒNG 2 – NĂM HỌC 2012-2013
Môn: Toán – Thời gian: 180 phút.
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2	
Câu I (4 điểm)
Cho hàm số .
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C).
Câu II (4 điểm)
Giải hệ phương trình: 
Xác định tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm:
Câu III (4 điểm)
1. Giải phương trình: .
	2. Tính tích phân: 	
Câu IV (6 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình thoi ABCD có tâm và . Điểm thuộc đường thẳng AB, điểm thuộc đường thẳng CD. Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn 3.
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, . Hình chiếu vuông góc của A’ trên mp(ABC) trùng với trung điểm H của AC, góc giữa hai mặt phẳng (BCC’B’) và (ABC) bằng . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC theo a.
Câu V (2 điểm)
	Cho ba số a, b, c dương thỏa mãn .
	Chứng minh rằng: .
Hết
Cán bộ trông thi không giải thích gì thêm.
Thí sinh không được dùng máy tính bỏ túi các loại.
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu
Nội dung
Điểm
I
1. Khảo sát hàm số (C)
TXĐ: R
Sự biến thiên
Giới hạn: 
Chiều biến thiên: 
BBT: 
x
	1	 3	 
y’
	0	 0	 
y
	3	
	-1
Hàm số đồng biến trên các khoảng và ; nghịch biến trên khoảng .
Hàm số đạt cực đại tại ;
Hàm số đạt cực tiểu tại 
Đồ thị: - (C) đi qua các điểm 
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
2. 	Xét điểm trên đường .
	Tiếp tuyến tại có phương trình là:
	Tiếp tuyến này qua A khi và chỉ khi
	Số nghiệm của phương trình (1) chính là số tiếp tuyến qua A
	Xét hàm số: trên R
Có: , suy ra g(x) luôn nghịch biến và có tập giá trị là (-,+) do đó phương trình (1) luôn có một nghiệm duy nhất
	Vậy từ một điểm bất kỳ trên luôn kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (C)
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5

0,25
II
1. Giải hệ phương trình: 
- (3). 
- Xét hàm số trên 
Có , suy ra hàm số đồng biến trên 
* Với , thay vào PT (2), ta được: 
Suy ra hệ có nghiệm: 
* Với , thay vào PT (2), ta được: 
Vậy hệ ban đầu có 2 nghiệm: .
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
2. (1)
ĐK: 
BPT (1) 
Xét hàm số trên 
Khi đó bài toán trở thành: “ tìm m để bpt có nghiệm trên ”
Ta có: 
Lại do hàm số liên tục trên nên đồng biến trên 
Nhận thấy: bpt có nghiệm trên khi và chỉ khi 
Vậy là giá trị cần tìm.
0,25
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
III
1. Giải phương trình: (1)
- ĐK: 
- Ta có
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
x
0
t
0
2. Tính tích phân: 
- Đặt ; đổi cận: 
- Đặt , ta được: 
- Đặt 
	Đổi cận: 
A
•N
M
I
D
C
B
N’
H
Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
IV
1. – Gọi N’ là điểm đối xứng của M qua I
. Dễ có: .
Đường thẳng CD đi qua N và N’, suy ra
CD có phương trình là: .
Suy ra AB có phương trình là: .
Dựng tại H 
Do ABCD là hình thoi nên .
Do , đặt .
Trong tam giác vuông IAB có:
Do nên giả sử 
Do là vectơ pháp tuyến của BD 
Suy ra phương trình BD là: 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
A
B’
A’
B
C
I
K
H
C’
x
2. 
- Dựng , dựng tại I.
Ta thấy nên 
- Do 
.
- Ta có: 
- Do 
- Lại có: 
- Nhận thấy:
Dựng 
Mà 
	Vậy 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
V
Cho ba số a, b, c dương thỏa mãn .
	Chứng minh rằng: .
- Áp dụng BĐT AM-GM và giả thiết , ta có:
- Tương tự ta có: 
- Lại có: 
Suy ra:
 (đpcm)
Vậy , 
	dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
Chú ý: - Bài hình học không gian nếu không vẽ hình hoặc vẽ sai cơ bản thì không chấm điểm.
	- Các cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa.