Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn thi: Toán học (vòng 2) - Tỉnh Phú thọ

m
at
h.
vn
Sở Giáo Dục & Đào Tạo Phú Thọ
Năm học 2010-2011
Đề thi Chọn Đội Tuyển Học Sinh Giỏi
Môn thi: Toán học
Vòng 2
Bài 1.
Cho x; y; z> 0. Chứng minh rằng:
(x+1)(y+1)2
3 3
√
z2x2+1
+
(y+1)(z+1)2
3 3
√
x2y2+1
+
(z+1)(x+1)2
3 3
√
y2z2+1
≥ x+ y+ z+3.
Bài 2.
Cho đa thức P(x) với hệ số nguyên và k≤ 6 ∈N. Giả sử x1; x2; · · · ; xk với x1 < x2 < · · ·< xk
là các số nguyên thỏa mãn: 1≤ P(xi)≤ k−1, ∀ i= 1; 2; · · · ; k.
Chứng minh rằng: P(x1) = P(x2) = · · ·= P(xk).
Bài 3.
Cho tam giác ABC có BC > AB>CA và cosA+ cosB+ cosC =
11
8
.
Lấy điểm X trong đoạn BC và điểm Y trên tia AC sao cho: BX = AY = AB.
1) Chứng minh rằng: AB= 2XY .
2) Giả sử Z là một điểm trên cung AB không chứa điểm C của đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC sao cho ZC = ZA+ZB. Hãy tính tỉ số:
ZC
XC+YC
.
Bài 4.
Giả sử c là một số nguyên dương. Xét dãy số {Un}∞n=1 cho bởi:
U1 = 1;U2 = c;Un = (2n+1)Un−1− (n2−1)Un−2; ∀n≥ 3.
Hãy tìm c sao cho:Ui
...U j; ∀ i≥ j ≥ 1.
Bài 5.
Có thể xếp được hay không các số tự nhiên từ 1 đến n2 với n≥ 2 vào các ô của bảng vuông
sao cho đối với bất kì một số nào của bảng thì trong các số ở trên cùng hàng và cùng cột với
số đó luôn luôn có thể chọn được ba số mà một trong ba số này bằng tích của hai số còn lại.
——— Hết ———