Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 12

Trường THPT Tĩnh Gia 2
Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán lớp 12
năm học 2007-2008
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể giao đề)
Câu 1: Giải hệ phương trình : 
Câu 2: Giải phương trình : 
Câu 3: Xác định tham số m để tổng bình phương các nghiệm của phương trình : 
 lớn hơn 1
Câu 4: Tính tổng: S = 
Câu 5: Cho x, y là các số thực thoả mãn: 
 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x + y
Câu 6: Cho hai đường thẳng d1: 2x – y + 1 = 0; d2: x + 2y – 7 = 0
 Lập phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ sao cho đường thẳng đó tạo với hai đường thẳng d1, d2 một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của d1 và d2. Tính diện tích tam giác đó.
Câu 7: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2, M(x0; y0) là điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua M.
Câu 8: Cho hàm số f(x) = a1sinx + a2sin2x + . . . + ansinnx
a1, a2, . . ., an ẻ R. Chứng minh rằng nếu ỳ f(x)ỳ <ỳ sinxỳ với "xẻ R thì:
ỳ a1 + 2a2 + . . .+ nanỳ Ê 1
Câu 9: Cho tam giác ABC và 2 số x, y ẻ R thoả mãn hệ thức 
 Tìm x, y và A, B, C.
Câu 10: Cho tứ diện SABC, SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau. H là hình chiếu của S lên mf(ABC), O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
 --------------------------------------Hết---------------------------------------------
 Họ và tên thí sinh: ............................................SBD ....................................