Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi quốc gia vòng 2 lớp 12 THPT năm học 2011 - 2012 môn: Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA VÒNG 2
 HƯNG YÊN LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ CHÍNH THỨC
 MÔN: TOÁN
 (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)
 (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 21/10/2011
Câu 1 (4 điểm):
Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
Câu 2 (5 điểm):
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B. Các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại K. M là điểm di động trên (O) (M không trùng với A, B), đường thẳng AM cắt đường tròn (O’) tại P. Đường thẳng KM cắt đường tròn (O) tại C, đường thẳng AC cắt đường tròn (O’) tại Q. Chứng minh rằng:
Đường thẳng MC đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ
Đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đường tròn (O)
Câu 3 (4 điểm):
Tìm hàm số f: ℚ→ℝ thoả mãn: f(x+y) = f(x).f(y) – f(xy) + 1; ∀x, y ∈ ℚ
Câu 4 (4 điểm):
Cho dãy số Fibonacci xác định như sau: ∀n≥3
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥3 thì và nguyên tố cùng nhau
Với số nguyên tố p nguyên tố cùng nhau với 10, chứng minh rằng trong hai số và có đúng một số chia hết cho p.
Câu 5 (3 điểm):
Tìm số các dãy số với, i = 1; 2; ; 2012 thoả mãn điều kiện:
 Và, i = 1; 2; ; 2011
---------------------Hết---------------------
Chú ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay
 - Giám thị coi thi không được giải thích gì thêm.