Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi trường THCS năm học 2013 – 2014 Đề Thi Môn Toán – Lớp 8

PHÒNG GD-ĐT ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG 
 Trường THCS	Năm học 2013 – 2014
	
ĐỀ THI MÔN TOÁN – LỚP 8
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: Cho biểu thức:
 A= 
a, Tìm tập các định và rút gọn biểu thức A.
b, Tính giá trị của biểu thức A với x = .
Câu 2: Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp. Chứng 
rằng: ab – a – b + 1 chia hết cho 192 
Câu 3: 
a, Chứng minh bất đẳng thức: x2 + y2 – xy ³ x + y – 1
b, Cho: + + = 0. Chứng minh rằng: ()2 + ()2 + ()2 = 2
Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD. TRên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của C qua P.
a) Tứ giác AMDB là hình gi?
b) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AD, AB.
 Chứng minh: EF // AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.
*** Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ***

ĐÁP ÁN ĐỀ THI MÔN TOÁN – LỚP 8

Câu
Phần
Bài giải
1
a
TXĐ: x ¹ 0; x ¹ 
A = = 
= 

b
A = 
2

Vì a, b là hai số chính phương liên tiếp nên giả sử a < b, ta có: 
a = (2k – 1)2; b = (2k + 1)2 với k 0
ab – a – b + 1 = (a – 1)(b – 1) = 16k2(k – 1)(k + 1) 
Vì k(k + 1)(k – 1) luôn chia hết cho 3 với mọi k thuộc Z. 
Và k2(k + 1)(k – 1) luôn chia hết cho 4, với mọi k thuộc Z.
Kết hợp với (3,4) = 1 
nên ab – a – b + 1 chia hết cho 16.12 = 192 (đpcm)
3
a
x2 + y2 – xy ³ x + y – 1 
Û x2 + y2 + 1 – x‎‎y – x – y ³ 0 
Û 2x2 + 2y2 + 2 – 2x‎‎y – 2x – 2y ³ 0
Û (x – y)2 + (x – 1)2 + (y – 1)2 ³ 0
Bất đẳng thức luôn luôn đúng.
Vậy x2 + y2 – xy ³ x + y – 1 

b
Ta có: 










 (đpcm)
4
HVẽ


a
Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có O là trung điểm của AC
P là trung điểm của MC
Hay PO là đường trung bình của ACM hay AM // PO.
Vậy BD // AM hay tứ giác AMDB là hình thang.

b
Do AM // BD hay (đồng vị)
Xét tam giác cân OAB ta có 
Gọi I là giao điểm của MA và EF, ta thấy DAEI cân ở I hay 
Suy ra hay EF //AC .(1)
Mặt khác IP là đường trung bình của D MAC suy ra IP // AC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra : E,F, P thẳng hàng.

c
Do D MAF ~ D DBA (g – g) → không đổi
- Mọi cách giải khác nếu đúng đều cho điểm tối đa.