Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 TP HCM năm 2011 - 2012 môn: Toán (vòng 1)

Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 TP.HCM 2011-2012
Môn: TOÁN
VÒNG 1
www.vnmath.com
Câu I
Giải hệ phương trình sau:xy+1 = (y + 1)x√−4x2 + 18x− 20 + 2x2−9x+6
2x2−9x+8 =
√
y + 1.
Câu II
Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Trên tia đối tia AB
lấy điểm M . Cát tuyến qua B cắt (O1) và (O2) lần lượt tại C và D (B nằm
giữa C và D). Đường thẳng MC cắt (O1) tại P khác C. Đường thẳng MD
cắt (O2) TẠI Q khác D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD,
E là giao điểm của PB và AC, F là giao điểm của QB và AD. Chứng minh
MO vuông góc với EF .
Câu III
Cho a; b; c > 0. Chứng minh:
1
a(b+ 1)
+
1
b(c+ 1)
+
1
c(a+ 1)
≥ 3
1 + abc
.
Câu IV
Cho đa thức P (x) = x2012−mx2010+m(m 6= 0). Giả sử P (x) có 2012 nghiệm
thực. Chứng minh có ít nhất một nghiệm thỏa | x0 |≤
√
2.
Câu V
Cho các số nguyên x, y thỏa mãn x2−2xy+y2−5x+7y và x2−3xy+2y2+x−y
đều chia hết cho 17. Chứng minh xy − 12x+ 15y chia hết cho 17.
1
www.VNMATH.com
Đề thi chọn đội tuyển lớp 12 TP.HCM 2011-2012
Môn: TOÁN
VÒNG 2
www.vnmath.com
Câu I
Tìm tất cả các hàm f(x) : R → R thỏa: f(f(x) + y) = f(x2 − y) + 4yf(x)
với mọi x, y ∈ R.
Câu II
Cho a; b; c > 0. Chứng minh:
ab2
a2 + 2b2 + c2
+
bc2
b2 + 2c2 + a2
+
ca2
c2 + 2a2 + b2
≤ a+ b+ c
4
.
Câu III
Cho 4ABC nội tiếp (O). Trên AC và AB lần lượt lấy 2 điểm P và Q. Gọi
M,N, J lần lượt là trung điểm BP,CQ, PQ. Cho (MNJ) cắt PQ tại R.
Chứng minh OR ⊥ PQ.
Câu IV
Cho dãy (un) được định bởi:u1 =
4
5
un+1 =
u2n
u4n−8u2n+8∀n ∈ N∗.
Tìm công thức tổng quát của dãy un.
Câu V
Tìm tất cả các số nguyên dương a, b thỏa mãn (ab)2 − 4(a + b) là một bình
phương của 1 số nguyên.
2
www.VNMATH.com