Đề thi chọn đội tuyển môn Toán

Đề thi chọn đội tuyển Thanh Hóa 
Ngày 1 (2/11/2006)
Bài 1 
Cho 
Tìm thỏa mãn sao cho 
Bài 2 
Cho và tập được tô màu tuần hoàn chu kì thỏa mãn trong số có đúng số tô xanh với mọi 
Chứng minh rằng 
Bài 3 
Cho vòng tròn được đánh dấu 2001 điểm.Tìm số cách điền các kí tự A,B,C vào các điểm trên sao cho giữa 2 kí tự bất kì giống nhau thì có một số chẵn các kí tự khác nó nằm giữa điểm đó 
Ngày thi thứ 2 :3/11/2006
Bài 1 : Cho đa thức hệ số nguyên , thoả mãn với mọi thì . Xét dãy số ,Chứng mình rằng nếu với mỗi luôn tồn tại số hạng của dãy chia hết cho thì 
Bài 2: Cho đường tròn và tiếp xúc ngoài với nhau tại và tiếp xúc trong với lần lượt tại và.Tiếp tuyến chung của cắt tại và .Đường kính của (O) vuông góc với 
Gọi giao điểm của với lần lượt là . Chứng minh rằng vuông góc với 
Chứng minh rằng và đồng quy .
Bài 3 :Trong thành phố có (nhiều hơn 1) một số tuyến đường sao cho:
Mỗi đường có đúng 3 bến xe buýt 
Hai đường bất kì có đúng 1 và chỉ 1 bến chung 
Hai bến bất kì đều có đúng 1 và chỉ 1 đường nối chúng 
Hỏi trong thành phố có bao nhiêu con đường .?
HSG Lớp 12 tỉnh Hải Dương 2006-2007
CÂU1(2đ):
Giải hệ pt sau:
CÂU 2(2đ):
1)Cho đa thức cos2006x với hệ số thực.CMR:nếu thì 
2)Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến của đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.
CÂU3(2đ):
1) Cho các số thực dương a,b,c t/m abc=1.CMR:
.
CÂU4(2đ):
Cho dãy số thực:
.
Tính 
CÂU5(2đ):
Cho tam giác ABC và 2 điểm M,N thuộc cạnh BC,P,Q lần lượt thuộc các cạnh CA,AB sao cho MNPQ là hình vuông.Nhận dạng tam giác ABC biết:
.
KHTN Hà Nội
Vòng 1
Câu 1(7 điểm): số nguyên dương được gọi là ''n-số đẹp'' nếu nó thỏa mãn:
1) có ít nhất ước số nguyên tố phân biệt
2) tồn tạ các ước số dương khác nhau 1,,,.. của sao cho:
=1+++...
CM: với 6 luôn tồn tại số đẹp
Câu 2:(7 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn.Gọi H là trực tâm của tam giác và (d) là đường thẳng đi qua H cắt các cạnh của tam giác( d không đi qua đỉnh của tam giác).Kí hiệu (x),(y),(z) là ảnh của (d) qua các phép đối xứng trục BC,CA,AB.CM: (x),(y),(z) đồng qui và điểm đồng qui chạy trên 1 đường tròn cố định khi (d) quay xung quanh H và không đi qua đỉnh của tam giác
Câu 3(7 điểm)
Có n người ,..., tô mầu bảng theo yêu cầu sau:
+trong vòng 1 phút mỗi người phải tô màu xong đúng 1 ô
+họ không được tô màu lại các ô đã tô màu
+ =1,2,.. ,người hai phút liên tiếp tô màu 2 ô thì hai ô ấy phải có cạnh chung
Giả sử ban đầu chưa có ô nào được tô màu và ở phút đầu tiên , người được yêu cầu tô màu ô mà không có 2 ô nào trong ô đó nằm trên cùng 1 hàng hay cùng 1 cột
Tìm số để sau phút họ có thể tô màu hết các ô của bảng