Đề thi chọn đội tuyển môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Tân Phú (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN TÂN PHÚ
ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 9
NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài 120 phút
 (3 điểm) Cho , là các số thực dương thỏa mãn: 
Tính giá trị của biểu thức 
 (2 điểm) Giải các phương trình:
a) 
b) 
 (3 điểm)
a)	Cho là số thực dương, chứng minh rằng: 
b)	Cho và . Chứng minh rằng: 
 (4 điểm)
Cho tam giác nhọn. Đường tròn nội tiếp (tâm ) của tam giác lần lượt tiếp xúc với, tại , . Gọi là điểm đối xứng của qua trong điểm của . Dựng đường kính của đường tròn . 
a)	Chứng minh và thẳng hàng.
b)	Đường thẳng vuông góc với tại K cắt tia tại Q. Gọi là trung điểm của . Chứng minh vuông góc với 
 (2 điểm)
Cho tam giác , . Trên cạnh lấy hai điểm , sao cho và nằm giữa và . Đường thẳng qua , song song với cắt các đường thẳng , thứ tự tại , . Chứng minh rằng: 
 (3 điểm) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn: 
–HẾT—
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ HSG TOÁN 9 QUẬN TÂN PHÚ
Năm học: 2020-2021
 (3 điểm) Cho , là các số thực dương thỏa mãn: 
Tính giá trị của biểu thức 
Lời giải
TH1: Nếu tính được 
TH2: Nếu 
Vậy .
 (2 điểm) Giải các phương trình:
a) 
b) 
Lời giải
a)	
 (Điều kiện: )
+ Nếu 
+ Nếu 
Vậy 
b) 
Điều kiện: 
Ta có: 
Từ điều kiện . Ta thấy ; ; nên (1) vô nghiệm.
Vậy 
 (3 điểm)
a)	Cho là số thực dương, chứng minh rằng: 
b)	Cho và . Chứng minh rằng: 
Lời giải
a)	Xét hiệu: 
. Dấu “=” xảy ra khi x = 1
b)	Áp dụng kết quả câu a ta được:
Tương tự thì: ; 
Cộng tương ứng: 
Dấu “=” xảy ra khi 
 (4 điểm)
Cho tam giác nhọn. Đường tròn nội tiếp (tâm ) của tam giác lần lượt tiếp xúc với, tại , . Gọi là điểm đối xứng của qua trong điểm của . Dựng đường kính của đường tròn . 
a)	Chứng minh và thẳng hàng.
b)	Đường thẳng vuông góc với tại K cắt tia tại Q. Gọi là trung điểm của . Chứng minh vuông góc với 
Lời giải
 a)	Chứng minh và thẳng hàng.
Gọi T là tiếp điểm của với .
Ta có: ; ; 
Mà 
	 (đpcm)
Gọi lần lượt là giao điểm của với 
Gọi độ dài các cạnh BC, AC và AB tương ứng là . 
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có 
Áp dụng định lý Thalet 
Xét tam giác có 
Theo định lý Menelaus hay thẳng hàng. 
b)	Đường thẳng vuông góc với tại K cắt tia tại Q. Gọi là trung điểm của . Chứng minh vuông góc với .
 là trung trực của .
 mà 
Suy ra vuông góc với .
 (2 điểm)
Cho tam giác , . Trên cạnh lấy hai điểm , sao cho và nằm giữa và . Đường thẳng qua , song song với cắt các đường thẳng , thứ tự tại , . Chứng minh rằng: 
Lời giải
Ta có 
có 
 (3 điểm) Tìm các cặp số nguyên thỏa mãn: 
Lời giải
Với là các số nguyên:
Vì nên 
Vậy tập các cặp số nguyên là: 
–HẾT—