Đề thi chọn đội tuyển Ninh Bình môn thi: Toán Học

m
at
h.
vn
Sở Giáo Dục & Đào Tạo Ninh Bình
Năm 2010 - 2011
Đề thi Chọn đội tuyển Ninh Bình
Môn thi: Toán học
Bài 1.
1) Giải phương trình: 32x3−x+2−3x3+2x+ x3−3x+2= 0
2) Giải hệ phương trình:

x2+ y2+ z2 = 20102
x3+ y3+ z3 = 20103
3) Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 4.
Chứng minh rằng: a2+b2+ c2+2abc≤ 272
27
Bài 2.
1) Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số thực thỏa mãn: P(x+ y) = P(x)+P(y)− xy−1
2) Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số cặp số nguyên dương m; n thỏa mãn
m2+5
n
,
n2+5
m
cũng
là các số nguyên dương.
Bài 3.
Cho đướng tròn tâmO nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với 3 cạnh BC,CA, AB thứ tự tạiD, E, F .
GọiM là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD và đường tròn (O), gọi N, P thứ tự là giao điểm
thứ hai của MB và MC với đường tròn (O).
Chứng minh rằng ba dường thẳng MD, NE, PF đồng quy tại 1 điểm.
Bài 4.
Chứng minh rằng:
1
Cmn
n−m+1
∑
i=1
iCm−1n−i =
n+1
m+1
.
——— Hết ———