Đề thi chọn đội tuyển Thừa Thiên Huế môn Toán

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THỪA THIÊN HUẾ (VÒNG I _ 30/11/2006) 
Bài 1 :(5 điểm) 
Với các tham số thực m , p (m ≠ 0), xét các đồ thị :
(H) : và () : y = - (2p - 1)x
a/Tìm điêù kiện cuả m và p để các đồ thị () và () tiếp xúc nhau .
b/Chứng tỏ rằng khi các đồ thị () và () tiếp xúc nhau thì tiếp điểm cuả chúng nằm trên đồ thị : y = x - 
Bài 2 :(3 điểm)
Chứng minh rằng tam giác ABC có ít nhất một góc bằng 45 khi và chỉ khi :
2(sinA.sinB.sinC - cosA.cosB.cosC) = 1
Bài 3:(6 điểm)
Trên mặt phẳng , xét một hình vuông ABCD và một tam giác đêù EFG cắt nhau taọ thành một thất giác lồi MBNPQRS . Trong đó Q,P CD ; R , S AD ; M AB ; N BC .
a/Chứng minh rằng : " Nêú SM = NP = QR thì MB = PQ và BN = RS "
b/Chứng minh rằng : " Nêú MB = PQ và BN = RS thì SM = NP = QR "
Bài 4 :(6 điểm) 
Xét các số thực thay đổi x , y thoả điêù kiện : .
a/Tìm giá trị lớn nhất cuả T = y - x .
b/Tìm tất cả các cặp (x ; y) để T đạt giá trị nhỏ nhất .
Chú thích : Thời gian làm bài là 150 phút
VÒNG II (1/12/2006)
Bài 1 : (3 điểm) 
Giải hệ phương trình : 
Bài 2 : (6 điểm)
Cho lăng trụ tứ giác (L) tùy ý . Giả sử rằng bên trong (L) có một hình câù (S) bán kính R tiếp xúc với tất cả các mặt cuả (L) .
a/Gọi là diện tích một mặt đáy cuả (L) , là tổng các diện tích cuả mặt bên (L) .
Chứng tỏ rằng : .
b/Chứng minh rằng tổng tất cả diện tích các mặt cuả (L) lớn hơn họăc bằng 24 .
Bài 3 : (5 điểm)
Cho dãy số () xác định bởi :
và với n 3 ; 
a/Tìm n để | - 2007| có giá trị nhỏ nhất .
b/Tìm số dư khi chia cho 2006 .
Bài 4 : (6 điểm) 
Xét phương trình hàm :
f(xy) - f(x).f(y) = 3[f(x + y) - 2xy - 1] với mọi số thực x , y .
a/Tìm hàm số chẵn thoả mãn phương trình hàm trên .
b/Tìm tất cả các hàm số thoả mãn phương trình hàm trên .
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THI QG 2006_2007
TRƯỜNG ĐHKH HUẾ _ KHOÁ NGÀY : 6.1.2007
Câu I .Chứng minh rằng vói mọi số nguyên dương n và với mọi cặp a,b các chữ số khác 0, với a chẵn b lẻ, luôn tồn tại một số tự nhiên có đúng n chữ số sao cho là bội số cuả và chỉ gồm toàn các chữ số a,b .
Áp dụng , tính khi và .
Câu II. Cho đa thức bậc thoả mãn điêù kiện Xác định giá trị 
Câu III. Tính tổng 
Câu IV. Cho tam giác ABC vuông tại C . Trên các cạnh AC lấy điểm P , cạnh AB lấy điểm Q , R , cạnh BC lấy điểm S sao cho tứ giác PQRS là hình vuông. Chứng minh rằng AB 3QR , khi naò dâú đẳng thức xãy ra?
Câu V. Trên các cạnh cuả tam giác ABC lấy U,R thuộc AB; Q,T thuộc BC; S,P thuộc CA sao cho các đoạn PQ, RS, TU tương ứng song song với AB,BC,CA và các đoạn này giao nhau tại X,Y,Z.
Hãy xác định diện tích tam giác ABC nêú mỗi một trong các đoạn PQ,RS và TU chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau và nêú diện tích tam giác XYZ bằng 1 .
Câu VI. Cho hình vuông có cạnh bằng một đơn vị,tìm số lớn nhất các điểm có thể đặt vaò hình vuông(kể cả trên các cạnh) sao cho không có bất cứ hai điểm naò trong số các điểm đó có khoảng cách bé hơn đơn vị .
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LÂM ĐỒNG - Ngày thứ nhất 15/12/2006
Bài 1
Cho , chứng minh rằng :
Bài 2
Giải pt 
Bài 3
Giải hệ
Bài 4
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O;R). R=1.Chứng minh rằng : 
Bài 5
Tam giác ABC nội tiếp (O;R). Đường cao AA'=.I,K là hình chiếu của A' lên AB và AC.
a) CMR : 
b) CMR : O,I,K thẳng hàng.
Ngày thứ hai 16/12/2006
Bài 1
Cho đa thức . Biết rằng các hệ số và có 2006 nghiệm thực.
Chứng minh rằng: .
Bài 2
Cho nguyên và không đổi. Đặt . Chứng minh rằng tồn tại nguyên dương để , với dãy {} xác định như sau:
.
Bài 3
Tìm tất cả các hàm thỏa mãn: 
__________________
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN BẾN TRE
Bài 1:Gsử có đồng nhất thức:
Các hệ số vế phải và a,b là các sô nguyên
Cho .Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Bài 2:Từ miếng bìa hình vuông có cạnh bằng có thể cắt thành hình tròn có bán kính bẳng thì tỉ số min bẳng bao nhiêu? 
Bài 3: Cho a,b,c khác o và các số này có tổng đôi một khác 0
CMR:
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN THI QG - ĐỒNG THÁP
Bài 1: Tam giác có góc nhọn. và là đường cao ( và ).
Đường tròn (ABD) cắt đoạn CE tại M. Đường tròn (ACE) cắt đoạn (BD) tại P. Chứng minh .
Bài 2: Chứng minh rằng với 3 số nguyên lẻ bất ký bao giờ cũng tồng tại một số nguyên lẻ thứ tư sao cho tổnglà một số chính phương.
Bài 3: Chứng minh rằng nếu là các số thực thoả thì 
Bài 4: Cho là hàm số thoả điều kiện với mọi số thực ta có:
 Chứng minh rằng với mọi số thực 
Bài 5: Cho 3 số nguyên dương với . Chứng minh: 
Bài 6: Tìm các giá trị có thể của với mọi số thực .
Bài 7: Với mọi số nguyên dương , đặt . Chứng minh:
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HẢI DƯƠNG
CÂU1(2đ):
Giải hệ pt sau:
CÂU 2(2đ):
1)Cho đa thức cos2006x với hệ số thực.CMR:nếu thì 
2)Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến của đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.
CÂU3(2đ):
1) Cho các số thực dương a,b,c t/m abc=1.CMR:
.
2)Cho tứ diện ABCD.CMR: 1 trong 3 số bằng tổng của 2 số còn lại .Trong đó: a=BC,a'=AD,b=CA,b'=BD,c=AB,c'=CD,
CÂU4(2đ):
Cho dãy số thực:
. Tính 
CÂU5(2đ):
Cho tam giác ABC và 2 điểm M,N thuộc cạnh BC,P,Q lần lượt thuộc các cạnh CA,AB sao cho MNPQ là hình vuông.Nhận dạng tam giác ABC biết:
.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU
Thời gian 180 phút
Câu 1 (5 điểm)
Cho hàm số có đồ thị là (Cm) và hàm số có đồ thị là (C). Giả sử (Cm) cắt (C) tại A(0;1), B, C. Lập phương trình đường thẳng BC
Câu 2 (4 điểm)
Cho a,b và c là các số dương cho trước. Tìm tất cả các số thực dương x, y, z thoả mãn hệ: 
Câu 3 (5 điểm)
Cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo nhau, vuông góc với nhau và nhận đoạn AB làm đoạn vuông góc chung. Hai điểm M,N lần lượt di động trên Ax, By sao cho AM+BN=MN. FGọi O là trung điểm đoạn AB. Chứng minh
a/ Tam giác MON là tam giác tù
b/ Đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định.
Câu 4 (4 điểm )
Cho dãy số {xn} xác định bởi : 
a/ Chứng minh rằng mọi n 1
b/ Tìm 
Câu 5 (2 điểm)
Tìm tất cả các hàm f từ các tập số nguyên vào các tập số thực thoả mãn các điều kiện
a/ f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) mọi x,y thuộc Z
b/ f(0) 0
c/ f(1)=5/2
__________________
Đề thi HSG Đồng Nai Năm Học 2006-2007
Ngày 14/11/2006
Thời gian: 180 phút
Câu 1: (7 điểm)
a) Giải phương trình: 
b) Xét hai mệnh đề:
(i) Nếu tam giác ABC có các góc A, B, C đều nhọn thì cosA, cosB, cosC là độ dài ba cạnh của một tam giác.
(ii) Cho tam giác ABC ta có sinA, sinB, sinC là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Hãy khẳng định tính đúng sai của mỗi mệnh đề đã cho và chứng minh khẳng định đó.
Câu 2: (7 điểm)
a) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác EFG, biết E(1 ; 0), F(-11 ; 5), G(-11 ; 9). Xác định toạ độ điểm I là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc E của tam giác EFG
b) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho ngũ giác MNPQR có các hoành độ và tung độ của năm đỉnh M, N, P, Q, R đều là các số hữu tỷ. Chứng minh rằng diện tích của ngũ giác đã cho là số hữu tỷ
Câu 3: (3 điểm)
Cho tứ diện ABCD có AB AC, AC CD, CD AB, gọi H, K là hai điểm thay đổi thuộc các mặt của tứ diện đã cho. Xác định vị trí của H và K để HK lớn nhất 
Câu 4: (3 điểm)
Trong nhiều tài liệu tham khảo có bài toán sau đây:
Một trăm con trâu
Một trăm bó cỏ
Trâu đứng ăn năm
Trâu nằm ăn ba
Trâu già ba con một bó
Hỏi mỗi loại trâu có mấy con?
Bài toán trên có xuất xứ từ sách "Đại thành toán pháp" của ngài Lương Thế Vinh; ngài có tên tự là Cảnh Nghi, hiệu là Thuỵ Hiên, dân gian xưa gọi thân tình là "Ông trạng Lường"; quê ở huyện Vũ bản, tỉnh Nam Định; sinh năm 1441; từ thời niên thiếu ngài nổi tiếng "thần đồng" học giỏi, thông minh; đặc biệt có cách học rất sáng tạo, vừa chăm học "kinh sử" theo cách học chủ yếu thời bấy giờ ; vừa tự tìm tòi, thực hành, suy luận về những phép đo lường, tính toán như "bình phân", "cửu chương",...; đồng thời luôn thích chơi sáo diều, say mê hát chèo và có nhiều đóng góp quyết định cho sự phát triển của môn nghệ thuật đặc sắc này; kì thi đình năm Quý Mùi - 1463 ngài thi đỗ Trạng Nguyên tương truyền chiếc bàn tính là do ngài chế, quyển "Đại thành toán pháp" -sách giáo khoa thư về Toán học phổ thông ra đời khoảng giữa thế kỷ XV là do ngài hoặc cùng một số người khác biên sạon; sau khi qua đời được dân gian thờ làm phúc thần, thần tích tại nơi thờ coi ngài là Tổ Sư nghề Toán ở Việt Nam
Lời giải của bài toán trên chứa đựng một ý tưởng, ý tưởng này tiếp cận một vấn đề mà sự phát triển của chúng là một trong những hướng đi đến Bài tián thứ 10 nổi tiếng của Hilber " Có tồn tại hay không một thuật toán giải phương trình Diophant tổng quát" nên hiểu đôi nét về nội dung này, tại đại hội Toán học thế giới lần thứ hai tổ chức năm 1900, nhà toán học lỗi lạc Hilber đọc báo cáo trình bày 23 Bài toán cho Toán học thế kỷ XX; Bài toán thứ 10của Hilber được nhà toán học Yuri Matijasievich giải hoàn thành năm 1970
Câu được đặt ra ở đây như sau:
Trong bài toán trên chỉ thay giả thiết "Trâu đứng ăn năm" bởi "Trâu đứng ăn n bó cỏ (n là số nguyên dương)". Hãy tìm giá trị lớn nhất của n để bài toán đã cho (sau khi được thay giả thuyết) có nghiệm (có đáp số) 
ĐỀ THI TỈNH LÂM ĐỒNG 2006 - 2007
Bài 1
Cho tính 
Bài 2
Cho . Tính biết 
Bài 3
Tính 
Bài 4
Định m để phương trình sau vô nghiệm 
Bài 5
Giải phương trình 
Bài 6
Định m để hệ có nghiệm duy nhất
Bài 7
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Các phân giác trong của tam giác ABC cắt (O) lần lượt tại các điểm P,Q,R. Chứng minh rằng: AP+BQ+CR>AB+BC+CA
Bài 8
Trong mặt phẳng Oxy cho A(p;q),B(12;19),C(23;20), M là trung điểm đoạn thẳng BC. Biết và đường thẳng AM có hệ số góc là -5.
Tính giá trị lớn nhất của p+q.
Bài 9
Cho 2 đường tròn
(E) là quỹ tích tâm các đường tròn (C) tiếp xúc trong với và tiếp xúc ngoài với . Đường thẳng (D):y=ax tiếp xúc với (C) và thỏa mãn trong đó m và n là 2 số nguyên nguyên tố cùng nhau. 
Bài 10
Tìm tập giá trị của hàm số 
Bài 11
Tìm cực trị của hàm số 
Bài 12 
Cho m nguyên dương. Dãy nguyên thỏa mãn
,k=1,2..,m-1
Tính m.
ĐỀ THI HSG TỈNH AN GIANG .
NGÀY THỨ NHẤT .
Bài 1(4 điểm)
Chứng tỏ rằng nếu hàm số y=f(x)=đạt cực đại tại và cực tiểu tại thì :
Bài 2(8 điểm)
Cho x,y,z là ba số thực tùy ý, chừng minh rằng:
1/. 
2/. 
Bài 3(8 điểm) 
Trên Mặt Phẳng Oxy cho hai điểm A(1;2) và B(5;4).
1/.Tìm tọa độ điểm C nằm trên trục tung để cho tam giác ABC vuông.
2/.Trong trường hợp tam giác ABC vuông tại A , tình độ dài đường phân giác trong đỉnh A của tam giác ABC.
3/.Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng (d): x- 2y -2 =0 sao cho tổng khoảng cách MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất , tình giá trị nhỏ nhất này
NGÀY THI THỨ HAI .
Bài 1(4 điểm):
CMR với mọi x, ta có:
Bài 2(6 điểm):
Giải Phương Trình: 
Bài 3 (5 điểm) :
Cho hàm số : y= f(x) = .Khi hàm số có cực đại và cực tiểu , chứng minh rằng : 
Bài 4(5 điểm) :
Trên mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(-1;3), hai đường phân giác trong đỉnh B, đỉnh C lần lược có phương trình là: BM: x- 2y +1 = 0 (M AC) ,CN: x+ y+3 = 0(N AB).Lập phương trình cạnh BC.
__________________
ĐỀ THI HSG TP ĐÀ NẴNG 12 , 2006 - 2007
Thời gian: 180ph
Bài 1: (2 điểm)
1. Khaỏ sát và vẽ đồ thị (C) cuả hàm số: .
2.Tìm toạ độ điểm M ở trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến cuả đồ thị (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận cuả (C) tại hai điểm A và B sao và độ dài AB ngắn nhất.
Bài 2: (2đ)
1.Tìm các nghiệm thuộc khoảng cuả pt
2. Giải hệ pt
Bài 3: 2đ
Trong hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;1) và B(-3;5).
1.Viết pt đưòng thảng đi qua gôc toạ độ O sao cho khoảng cách tù B đến bằng 3 lần khoảng cách từ A đến .
2. Tìm toạ độ tâm I cuả đường tròn đi qua 2 điểm A, B và cắt trục tung tại hai điểm M, N sao cho 
Bài 4:1,5 đ
Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau từng đôi một. CM và tron bốn mặt cuả tứ diện ABCD có ít nhất một mặt là tam giác nhọn.
Bài 5:2,5đ
1. Cho hai số thực dương x, y sao cho 
CM . Dâú bằng xảy ra khi naò?
2. Tìm giá trị nhỏ nhất cuả hàm số với x>0
ĐỀ THI HSG TP ĐÀ NẴNG 12 , 2006 - 2007
Thời gian: 180ph
Bài 1: (2 điểm)
1. Khaỏ sát và vẽ đồ thị (C) cuả hàm số: .
2.Tìm toạ độ điểm M ở trên đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến cuả đồ thị (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận cuả (C) tại hai điểm A và B sao và độ dài AB ngắn nhất.
Bài 2: (2đ)
1.Tìm các nghiệm thuộc khoảng cuả pt
2. Giải hệ pt
Bài 3: 2đ
Trong hệ toạ độ Oxy cho hai điểm A(1;1) và B(-3;5).
1.Viết pt đưòng thảng đi qua gôc toạ độ O sao cho khoảng cách tù B đến bằng 3 lần khoảng cách từ A đến .
2. Tìm toạ độ tâm I cuả đường tròn đi qua 2 điểm A, B và cắt trục tung tại hai điểm M, N sao cho 
Bài 4:1,5 đ
Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau từng đôi một. CM và tron bốn mặt cuả tứ diện ABCD có ít nhất một mặt là tam giác nhọn.
Bài 5:2,5đ
1. Cho hai số thực dương x, y sao cho 
CM . Dâú bằng xảy ra khi naò?
2. Tìm giá trị nhỏ nhất cuả hàm số với x>0
THI HSG BẾN TRE .
Kì thi diễn ra trong hai ngày 15,16/11/2006
 câu 1:cho a,b,c,d là các số thực không đồng thời bằng nhau .cho :
;và xét các dãy :và 
a)
b)Tính 
câu 2 Cho 2 mp (P) và(Q) song song nhau , một đường tròn © nằm trên (Q) và cho trước điễm A nằm giữa 2 mp (P) và (Q).Tìm M nằm trên (P) và B nằm trên (Q) : sao cho MA+MB ngắn nhất 
bài 3) cho 
a)
b) cmr: diện tích tam giác có 3 cạnh 
là một số nguyên
bài 4) cho f(x) thỏa:
a)
b)tìm 
Đề thi HSG Tỉnh Đồng Nai năm hoc 2005-2006 Lớp 12
Vòng 1
Câu 1: 
1) Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
2) Giải sử . Giải Bất phương trình: f[f(x)]>f(x)
Câu 2: Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, AC=b, Ab=c
1) Giả sử a,b,c lập thành cấp số nhân. Cmr nếu tam giác ấy không là tam giác đều thì chỉ có duy nhất một góc lớn hơn 
2)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Câu 3: Cho hình chóp tam giác DABC, đáy ABC là tam giác vuông cân cố định, AB=AC=2, còn đỉnh D thay đổi sao cho DA DB, DA DC
1) Xác định giá trị lớn nhất của khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC)
2) Trên cạnh CD kéo dài về phía D lấy N sao cho : AC AN. Xác định giá trị lớn nhất của thể tích hình chóp NABC
Câu 4: Giả sử A là số nguyên dương trong biểu diễn thập phân: A= với là các số tự nhiên, a_{n} >0 . Đặt . Xét dãy số 
1) Cmr có giá trị k để . Đặt . Cmr 
2) Giả sử A=. Tìm A*
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HÀ NỘI AMSTERDAM
Bài 1:Cho t là số dương tùy ý,số các phân số tối giản ; được kí hiệu là 
Tính 
Bài 2:Tìm nghiệm nguyên dương của pt:
Bài 3:Tìm để pt sau có nghiệm:
Bài 4:Cho bảng vuông kích thước 
Người ta điền vào các ô số 0 hoặc 1 sao cho không có 4 số 1 nào là đỉnh 1 hình chữ nhật.Cmr:số các số 1 không quá 
Bài 5:Cho điểm thứ tự nằm trên đường tròn Giả sử có 1 điểm trong -giác lồi sao cho 
Gọi là 1 điểm trên sao cho tại 
CMR 
Đề thi chọn đội tuyển Nghệ An.
Ngày thứ nhất (06/11/2006)
Bài 1 :
Cho . Giải phương trình :
Bài 2 :
Cho dãy số
mọi CMR: là số chính phương với mọi 
Bài 3:
Cho tam giác nhọn lần lượt là trung điểm của vàlà hình chiếu của trên CMR: các đường tròn ngoại tiếp các tam giácđồng qui tại 1 điểm và đường thẳng đi qua điểm đó và đi qua trung điểm đoạn .
Bài 4:
Trên mặt phẳng cho điểm sao cho không có điểm nào thẳng hàng . Với điểm bất kì được nối với nhau bởi đoạn thẳng được tô màu đỏ hoặc xanh.
Tìm số nhỏ nhất các đoạn thẳng được tô màu đỏ sao cho bất kì tam giác nào tạo bởi trong số điểm trên đều có ít nhất cạnh màu đỏ.
Ngày thứ hai (07/11/2006)
Bài 1 : 
Cho là số nguyên dương sao cho chia hết cho .: 
Bài 2 :
Cho là 3 số thực thỏa mãn Tìm max , min của biểu thức sau:.
Bài 3 :
Tìm tất cả các hàm thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :
mọi 
mọi 
mọi .
5) mọi .
Bài 4 :
Cho tứ diện CHỨng minh rằng mặt phẳng , mỗi mặt phẳng đi qua trng điểm một cạnh và vuông góc với cạnh đối diện đồng qui tại điểm.
Đề thi chọn đội tuyển Olympic khối PTC trường ĐHSP Hà Nội
Bài 1:Cho a,b,c dương thỏa mãn .CMR
a) 
b) 
Bài 2:Cho n là số nguyên dương n>1 thỏa mãn n là ước của .CMR n chia hết cho 5
Bài 3:Cho và .Biết P(x) có 3 nghiệm thực và P(Q(x)) vô nghiệm.CMR:
Bài 4:Cho lục giác ABCDEF thỏa mãn AB=CD=EF nội tiếp đường tròn tâm O.Vẽ về phía ngoài các tam giác cân đồng dạng MAB,NBC,PCD,QDE,REF,SFA.
a)CMR lục giác ABCDEF và lục giác MNPQRS có cùng trọng tâm
b)Gọi là trọng tâm hai tam giác MPR và NQS.CMR thẳng hàng.