Đề thi chọn đội tuyển Toán năm học 2008

Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh 
Trường Phổ thông năng khiếu 
Đề thi chọn đội tuyển Toán 
Ngày thi thứ nhất: 21/11/2008 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Bài 1. a) Chứng minh tồn tại số n chẵn, n > 2008 sao cho 2009.n – 49 là số chính 
phương. 
 b) Chứng minh không tồn tại số nguyên m sao cho 2009.m – 147 là số 
chính phương. 
Bài 2. Cho số nguyên dương n. Có bao nhiêu số chia hết cho 3, có n chữ số và các 
chữ số đều thuộc {3, 4, 5, 6} ? 
Bài 3. Cho tam giác ABC có A cố định và B, C thay đổi trên một đường thẳng d 
cố định sao cho nếu gọi A’ là hình chiếu của A lên d thì CABA '.' âm và không 
đổi. Gọi M là hình chiếu của A’ lên AB. 
a) Chứng minh rằng tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM thuộc một 
đường thẳng cố định. 
b) Gọi N là hình chiếu của A’ lên AC, K là giao điểm của các tiếp tuyế của 
đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN tại M và N. Chứng minh rằng K 
thuộc một đường thẳng cố định. 
Bài 4. Cho f(x) = x
2
 + ax + b. Biết phương trình f(f(x)) = 0 có 4 nghiệm phân biệt 
x1, x2, x3, x4 và x1 + x2 = -1. Chứng minh rằng b ≤ -1/4. 
Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh 
Trường Phổ thông năng khiếu 
Đề thi chọn đội tuyển Toán 
Ngày thi thứ hai: 21/11/2008 
Thời gian làm bài: 180 phút 
Bài 5. Giả sử P(x) = (x+1)p(x-3)q = xn + a1x
n-1
 + a2x
n-2
 +  + an, trong đó p, q là 
các số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu a1 = a2 thì 3n là một số chính 
phương. 
Bài 6. a) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức 
 2
))()((
8222 ≥
+++
+
++
++
accbba
abc
cabcab
cba
c) Chứng minh rằng tồn tại các số thực dương a, b, c sao cho 
2
8
))()((
222
<
+++
+
++
++
abc
accbba
cba
cabcab
Bài 7. Cho góc Oxy và một điểm P bên trong nó. γ là một đường tròn thay đổi 
nhưng luôn đi qua O và P, γ cắt các tia Ox, Oy tại M, N. Tìm quỹ tích trọng tâm G 
và trực tâm H của tam giác OMN. 
Bài 8. Với mỗi số nguyên dương n, gọi S(n) là tổng các chữ số của n. 
a) Chứng minh rằng các số n = 999 và n = 2999 không thể biểu diễn được 
dưới dạng a + b với S(a) = S(b). 
b) Chứng minh rằng mọi số 999 < n < 2999 đều biểu diễn được dưới dạng 
a + b với S(a) = S(b). 
Đề số 1 
Bài 1. Giải phương trình 
 22 12121 xxxx −+−=− 
Bài 2. Cho dãy {xn} xác định bởi e
n
nxn
=





+
+
1
1 . Chứng minh rằng dãy {xn} có 
giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 
Bài 3. Hai đường tròn (C1) và (C2) cắt nhau tại A và B. Gọi PQ, RS là các đoạn 
tiếp tuyến chung ngoài của các đường tròn này (P, R nằm trên (C1) và Q, S nằm 
trên (C2)). Biết rằng RB//PQ. Tia RB cắt (C2) tại điểm thứ hai W. Hãy tính tỷ số 
RB/BW. 
Bài 4. Tìm tất cả các đa thức f(x) với hệ số nguyên sao cho với mọi n nguyên 
dương ta có f(n) là ước của 2n – 1. 
Bài 5. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) sao cho 2a + 3b là bình phương 
của một số nguyên. 
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A. D là điểm di động trên cạnh AC. Đường 
tròn (O) đường kính BD cắt BC tại điểm thứ hai là P. Đường cao vẽ từ A của tam 
giác ABD cắt (O) tại điểm thứ hai là E. Gọi F là giao điểm của CE và DP. I là giao 
điểm của AF và DE. Đường thẳng qua I song song DP cắt đường trung trực AI tại 
M. Chứng minh M di động trên 1 đường cố định khi D di động trên AC. 
Bài 7. Tại một hội nghị có 100 đại biểu. Trong số đó có 15 người Pháp, mỗi người 
quen với ít nhất 70 đại biểu và 85 người Đức, mỗi người quen với không quá 10 
đại biểu. Họ được phân vào 21 phòng. Chứng minh rằng có một phòng nào đó 
không chứa một cặp nào quen nhau. 
Đề số 2 
Bài 1. Cho 0 < x0, x1, , x669 < 1 là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh 
rằng tồn tại một cặp (xi, xj) sao cho 
2007
1
)(0 <−< ijji xxxx 
Bài 2. Cho dãy số {an} xác định bởi a1 = 1, a2 = 2 và an+2 = 2an+1 – an + 2 với mọi 
n ≥ 1. Chứng minh rằng với mọi m, amam+1 cũng là một số hạng của dãy số. 
Bài 3. Cho đường tròn (C) đường kính AB và một điểm H cố định nằm trên AB. 
Gọi (T) là tiếp tuyến của đường tròn tại B. K là một điểm thay đổi trên (T). Đường 
tròn tâm K bán kính KH cắt (C) tại M và N. Chứng minh rằng đường thẳng MN 
luôn đi qua một điểm cố định. 
Bài 4. Tìm tất cả các hoán vị (a1, a2, , an) của (1, 2, , n) sao cho 2(a1++ak) 
chia hết cho k+1 với mọi k=1, 2, , n. 
Bài 5. Chứng minh rằng đa thức P(x) = xn + 29xn-1 + 2009 với n là số nguyên 
dương lớn hơn hay bằng 2 không thể phân tích thành tích của 2 đa thức với hệ số 
nguyên có bậc lớn hơn hay bằng 1. 
Bài 6. Cho tam giác ABC với O, I theo thứ tự là tâm của đường tròn ngoại, nội 
tiếp tam giác. Chứng minh rằng ∠AIO ≤ 900 khi và chỉ khi AB + AC ≥ 2.BC. 
Bài 7. Hình vuông được chia thành 16 hình vuông con bằng nhau, thu được tập 
hợp gồm 25 đỉnh. Hỏi cần phải bỏ đi ít nhất bao nhiêu đỉnh của tập hợp này để 
không có 4 đỉnh nào của tập hợp còn lại là đỉnh của một hình vuông với các cạnh 
song song với cạnh của hình vuông ban đầu? 
Đề số 3 
Bài 1. Giải hệ phương trình 





+=+
+=+
+=+
4)(
3)(
2)(
2
2
2
zyxz
yxzy
xzyx
Bài 2. Hàm số f: R R thoả mãn điều kiện f(cotg x) = sin 2x + cos 2x với mọi x 
thuộc (0, pi). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g: [-1, 1] R, 
g(x) = f(x).f(1-x). 
Bài 3. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm B, C và A là một điểm 
thay đổi trên (O). AB, AC cắt đường tròn (O’) lần lượt tại C’, B’. Gọi M’ là trung 
điểm của B’C’. Chứng minh rằng AM’ luôn đi qua một điểm cố định. 
Bài 4. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, n) thỏa mãn điều kiện: mỗi ước 
nguyên tố của an+1 cũng là ước nguyên tố của a+1. 
Bài 5. Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn điều kiện P2(x) – P(x2) = 2x4. 
Bài 6. Cho tam giác cân ABC với AB = AC. P là một điểm bất kỳ nằm trong hay 
nằm trên các cạnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng PA2 + PB.PC ≤ AB2. 
Bài 7. Cho A là một tập hợp gồm 8 phần tử. Tìm số lớn nhất các tập con gồm 3 
phần tử của A sao cho giao của 2 tập bất kì trong các tập con này không phải là 
một tập hợp gồm 2 phần tử. 
Đề số 4 
Bài 1. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện : 





≥+
≥+
≥≥≥
542711
632
1
zx
zy
zyx
Tìm giá trị lớn nhất của .
200920081
222
zyx
P ++= 
Bài 2. Cho dãy số thực {xn} xác định bởi nnn xxxx +−+== + 122,1 10 với mọi 
n ∈ N. Ta xác định dãy {yn} bởi công thức ∑
=
∈∀=
n
i
i
in Nnxy
1
*.,2 Tìm công thức 
tổng quát của dãy {yn}. 
Bài 3. Cho tam giác ABC, D là một điểm bất kỳ trên tia đối của tia CB. Đường 
tròn nội tiếp các tam giác ABD và ACD cắt nhau tại P và Q. Chứng minh rằng 
đường thằng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi. 
Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên dương lẻ n sao cho tồn tại các số nguyên lẻ x1, x2, 
, xn thoả mãn điều kiện x1
2
 + x2
2
 +  + xn
2
 = n
4
. 
Bài 5. Tìm tất cả các hàm số f: R R thoả mãn điều kiện 
 f(f(x) + y)) = f(f(x) – y) + 4f(x)y 
với mọi x, y thuộc R. 
Bài 6. Cho tam giác ABC có BC > AB > AC và cosA + cosB + cosC = 11/8. Xét 
các điểm X thuộc BC và Y thuộc AC kéo dài về phía C sao cho BX = AY = AB. 
 a) Chứng minh rằng XY = AB/2. 
 b) Gọi Z là điểm nằm trên cung AB của đường tròn ngoại tiếp tam giác 
không chứa C sao cho ZC = ZA + ZB. Hãy tính tỷ số ZC/(XC+YC). 
Bài 7. Cho n là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2. Kí hiệu A = {1, 2, , n}. 
Tập con B của tập A được gọi là 1 tập "tốt" nếu B khác rỗng và trung bình cộng 
của các phần tử của B là 1 số nguyên. Gọi Tn là số các tập tốt của tập A. Chứng 
minh rằng Tn – n là 1 số chẵn. 
 Đề số 5 
Bài 1. Giải hệ phương trình 
z
xy
y
xz
x
yzzyx
18
3
2
2
8222 +=−=+=++ 
Bài 2. Cho số thực a và dãy số thực {xn} xác định bởi: 
x1 = a và xn+1 = ln(3+cosxn + sinxn) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3,  
Chứng minh rằng dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn khi n tiến đến dương vô cùng. 
Bài 3. Hai đường tròn có bán kính tỷ lệ 4:1 tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm M và 
nằm trong hình chữ nhật ABCD sao cho đường tròn lớn tiếp xúc với các cạnh AD, 
BC và CD, còn đường tròn nhỏ tiếp xúc AB và AD. Tiếp tuyến chung tại M của 
hai đường tròn cắt các cạnh AD và AB tại P và Q. Hãy tính các tỷ số AP/PD và 
AQ/QB. 
Bài 4. Cho a, b là các số nguyên dương sao cho 
a
b
b
a 11 +
+
+
 là số nguyên. Chứng 
minh rằng .),( baba +≤ 
Bài 5. Cho a, b, c > 0, a + b + c = 3. Chứng minh rằng 
 222
222
111
cba
cba
++≥++ . 
Bài 6. Trong mặt phẳng cho đường tròn (O) và đường thẳng d không có điểm 
chung với (O). Gọi H là hình chiếu của O lên d, gọi M là một điểm trên d (M 
không trùng với H). Từ M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O). Gọi C, D là hình 
chiếu của H lên MA, MB. Các đường thẳng CD, AB cắt OH tại I và K. Chứng 
minh rằng I là trung điểm của HK 
Bài 7. Trên bàn cờ vua kích thước 8x8 được chia thành 64 ô vuông đơn vị, người 
ta bỏ đi một ô vuông đơn vị nào đó ở vị trí hàng thứ m và cột thứ n. Gọi S(m;n) là 
số hình chữ nhật được tạo bởi một hay nhiều ô vuông đơn vị của bàn cờ sao cho 
không có ô nào trùng với vị trí của ô bị xóa bỏ ban đầu. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá 
trị lớn nhất của S(m;n). 
Đề số 6 
Bài 1. Giải hệ phương trình 





=−+
+=+−
−=
04
41)22(
|3|||
2
xzx
yyyz
xy
Bài 2. Cho dãy số {an} xác định bởi công thức truy hồi a1 = 1/2, 
12
2
1
+−
=+
nn
n
n
aa
a
a . 
Chứng minh rằng a1 + a2 +  + an < 1 với mọi số nguyên dương n. 
Bài 3. Các điểm A, B, C, D, E, F theo thứ tự nằm trên một đường tròn k. Tiếp 
tuyến của đường tròn k tại các điểm A và D và các đường thẳng BF và CE đồng 
quy tại một điểm P. Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BC và EF hoặc song 
song với nhau, hoặc đồng quy tại một điểm. 
Bài 4. (a) Cho trước số nguyên dương n. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên 
dương phân biệt x, y sao cho x + k chia hết cho y + k với mọi k = 1, 2, , n. 
 (b) Chứng minh rằng nếu với các số nguyên dương x và y ta có x + k chia 
hết cho y + k với mọi số nguyên dương k thì x = y. 
Bài 5. Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn điều kiện P2(x) = P(x2) 
– 2P(x). 
Bài 6. Lục giác lồi ABCDEF có ABF là tam giác vuông cân tại A, BCEF là hình 
bình hành. AD = 3, BC = 1, CD + DE = 2 .2 Tính diện tích lục giác. 
Bài 7. Cho X = {1, 2, , n}. Tìm số tất cả các cặp sắp thứ tự (A, B) với A, B là 
các tập con của X sao cho A không phải là tập con của B và B cũng không phải là 
tập con của A. 
Đề số 7 
Bài 1. Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: .
111
cba
cba ++≥++ Chứng 
minh rằng .
23
abccba
cba +
++
≥++ 
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số f: R R thoả mãn điều kiện: 
f(x-f(y)) = f(f(y)) + xf(y) + f(x) -1 
với mọi x, y thuộc R. 
Bài 3. Các đường chéo của hình thang ABCD cắt nhau tại điểm P. Điểm Q nằm 
giữa hai đáy BC và AD được chọn sao cho ∠AQD = ∠CQB. Điểm P và Q nằm 
khác phía nhau đối với cạnh CD. Chứng minh rằng ∠BQP = ∠DAQ. 
Bài 4. Tìm tất cả các số nguyên dương n có thể biểu diễn được dưới dạng 
 n = [a, b] + [b, c] + [c, a] 
trong đó a, b, c là các số nguyên dương. ([a, b] ký hiệu bội số chung nhỏ nhất của 
các số nguyên dương a, b). 
Bài 5. Tìm tất cả các đa thức hai biến P(x, y) sao cho P(a,b).P(c,d) = 
P(ac+bd,ad+bc) với mọi a, b, c, d thuộc R. 
Bài 6. Hãy xác định dạng của tứ giác ABCD diện tích S, biết rằng trong S tồn tại 
một điểm O sao cho 2S = OA2 + OB2 + OC2 + OD2. 
Bài 7. Với số nguyên dương n > 1 xét S = {1, 2, 3, , n}. Tô các số của S bằng 2 
màu, u số màu đỏ và v số màu xanh. Hãy tìm số các bộ (x, y, z) thuộc S3 sao cho 
 a) x, y, z được tô cùng màu; 
 b) x + y + z chia hết cho n.