Đề thi chọn giáo viên dạy giỏi cấp trường năm học 2010 - 2011 môn: Toán

TRƯỜNG THPT YÊN THÀNH 2 
KỲ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG 
NĂM HỌC 2010-2011 
MÔN: TOÁN 
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Câu 1. 
 a)Anh (chị) hãy nêu phương pháp chung để giải một bài toán? Lấy ví dụ minh hoạ. 
 b)Anh (Chị) hãy cho biết: Lời giải của một bài toán cần có những yêu cầu nào? 
Câu 2. 
 Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a; AC = BD = b; AB = CD = c. Đặt , ,   theo 
thứ tự là góc giữa: BC và AD, AC và BD, AB và CD. Chứng minh rằng trong các số 
2 2 2os , os , osa c b c c c   có một số hạng bằng tổng của hai số hạng còn lại. 
(Bài 24 - SBT hình học 11 nâng cao, chương III) 
 Anh (Chị) hãy giải bài toán trên và nêu cách hướng dẫn học sinh tìm lời giải. 
Câu 3. 
 Cho dãy (un) với 2 2 2 ... 2nu      ( n căn). Chứng minh rằng (un) là dãy số 
tăng và bị chặn. 
 a)Anh (Chị) hãy nêu 2 cách định hướng để học sinh tìm lời giải bài toán trên và 
trình bày một cách giải. 
 b)Khái quát hoá bài toán trên và trình bày lời giải. 
Câu 4. 
 Tìm m để pt sau có nghiệm: 2 22 2x x x x m      
 -Hết- 
TRƯỜNG THPT YEN 
THÀNH 2 
KÌ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI TRƯỜNG 
NĂM HỌC 2010-2011 
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
Môn: Toán 
(Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang) 
C©u Nội dung Điểm 
1a 
(4®) 
-Ph­¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i bµi to¸n: Cã 4 b­íc 
1.T×m hiÓu néi dung ®Ò bµi 
2.T×m lêi gi¶i 
3.Tr×nh bµy lêi gi¶i 
4.Nghiªn cøu s©u lêi gi¶i 
-Nãi ®­îc cô thÓ tõng b­íc 
-VÝ dô minh ho¹ ®óng 
1® 
1® 
1® 
1b 
(2®) 
C¸c yªu cÇu vÒ lêi gi¶i cña mét bµi to¸n 
-KÕt qu¶ ®óng, kÓ c¶ c¸c b­íc trung gian 
-LËp luËn chÆt chÏ 
-Lêi gi¶i ®Çy ®ñ 
-Ng«n ng÷ chÝnh x¸c 
-Tr×nh bµy râ rµng, ®¶m b¶o mü thuËt 
2 
2 
(4®) 
Ta cã 
2. . .cos( , ) .cos( , )AB CD AB CD AB CD c AB CD 
       
 (1) 
2. . .cos( , ) .cos( , )AC BD AC BD AC BD b AC BD 
       
 (2) 
2. . .cos( , ) .cos( , )AD BC AD BC AD BC a AD BC 
       
 (3) 
0,5 
MÆt kh¸c 
2 2 2 2 2 2 2 21. ( ) . . [( ) ( )]
2
AB CD AC CB CD CB CD CD CA a c b b c a a b           
       
 (4) 
2 2 2 2 2 2 2 21. ( ) . . [( ) ( )]
2
AC BD AB BC BD BD BC BD BA a b c b c a a c           
       
 (5) 
2 2 2 2 2 2 2 21. ( ) . . [( ) ( )]
2
AD BC AB BD BC BC BD BC BA a b c a c b b c           
       
 (6) 
Tõ (1), (4 suy ra 2 2 2.cos( , )c AB CD a b 
 
 (7) 
Tõ (2), (5) suy ra 2 2 2.cos( , )b AC BD a c 
 
 (8) 
Tõ (3), (6) suy ra 2 2 2.cos( , )a AD BC b c 
 
 (9) 
V× , ,   theo thứ tự là góc giữa: BC và AD, AC và BD, AB và CD nªn tõ (7), 
(8), (9) ta cã 
2 2 2.cosc a b   ; 2 2 2.cosb a c   ; 2 2 2.cosa b c   
suy ra 2 2 2.cos cos cosb a c    (§PCM) 
+Nªu c¸ch h­íng dÉn phï hîp 
0,5 
0,5 
0,5 
2 
3a 
(4®) 
§Þnh h­íng 1: 
...................................... 
§Þnh h­íng 2: 
.......... 
-Tr×nh bµy mét c¸ch gi¶i 
....................................... 
1,5 
1,5 
1 
3b 
(3®) 
-Kh¸i qu¸t ®­îc bµi to¸n 
Cho dãy (un) với ...nu a a a a     ( n căn), a>0. Chứng minh rằng (un) 
là một dãy số tăng và là dãy bị chặn. 
-Tr×nh bµy lêi gi¶i 
+Chøng minh d·y sè t¨ng 
 Ta chøng minh un+1> un (1) víi mäi n 
 Víi n = 1 th× u2 > u1 
Gi¶ sö (1) ®óng víi n = k hay uk+1> uk, ta sÏ chøng minh (1) ®óng víi n = k + 1, 
do uk+1> uk a+uk+1 > a + uk 1k ka u a u   uk+2 > uk+1 
VËy (un ) lµ d·y sè t¨ng. 
1 
1 
+Chøng minh d·y bÞ chÆn 
Do (un) lµ d·y sè t¨ng nªn bÞ chÆn d­íi, ta sÏ chøng minh (un) bÞ chÆn trªn b»ng 
c¸ch chøng minh *1 2nu a n N    (2) 
Ta thÊy, 1 1 2u a a   
Gi¶ sö (2) ®óng víi n = k, hay 1 2ku a  víi k > 1, ta sÏ chøng minh (2) ®óng 
víi n = k + 1, 
Theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã 
2
1
1 2 1 2 (1 )
1 1 2 1 2
k k
k k
u a a u a a a
a u a a u a
        
        
VËy d·y (un) lµ d·y bÞ chÆn 
1 
4 
(3®) 
Xét hàm số 2 2( ) 2 2f x x x x x      có tập xác định là D=R 
có: 
 
 
 
    
   
      
   
           
   
2 2
2 2
2 2
2 2
2 1 2 1'( ) ' 0
2 2 2 2
(2 1) 2 2 1 2 (1)
1 1 7 1 1 7[( - ) ] [( ) ] 0 thay vaøo (1)ta thaáy khoâng 
2 2 4 2 2 4
1thoûa maõn. Vaäy f'(x)=0 voâ nghieäm, maø f'(0)= >0, d
2
x xf x f x
x x x x
x x x x x x
x x x x x
   
 
  
    
  
2 2x +x +
o ñoù f'(x)>0 x 
2Maët khaùc: Lim ( ) = Lim 1; Lim ( ) 1
2 2
Vaäy pt ñaõ cho coù nghieäm -1 1
x
R
xf x f x
x x x x
m
1,5 
1,5