Đề thi chọn học sinh giỏi bậc PTTH Thừa Thiên Huế năm học 1999-2000 môn: Toán bảng B vòng 1

	SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1999-2000.
	 -----------------------	 -------------------------------------------------
	 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN BẢNG B VÒNG 1. 
 SBD	: (180 phút, không kể thời gian giao đề)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: (2.5 điểm)Giải và biện luận phương trình theo tham số m:
	(lgcosx)2 – mlgcos2x – m2 + 2 = 0.
Bài 2: (2.5 điểm) Cho phương trình:
	a/ Giải phương trình khi a = 64.
	b/ Tìm a để phương trình có nghiệm.
Bài 3: (2.5 điểm) Cho tứ diện ABCD có diện tích các tam giác ADB và ADC là Sb và Sc. Mặt phẳng phân giác của nhị diện tạo bởi hai mặt (ADB) và (ADC) cắt BC tại M. a là góc giữa hai mặt (ADB) và (ADC).
Chứng minh:
	a/ 
	b/ Diện tích Sm của tam giác ADM là: .
Bài 4: (2.5 điểm) Cho hai số a1, b1 với a1 = cos2 , b1= cos . Lập hai dãy số (an), (bn) với n = 1, 2, ... theo quy tắc sau:
	, 
	Tính: và .
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1999-2000.
	 -----------------------	
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN
BẢNG B – VÒNG 1.
Bài 1: (2.5 điểm) (lgcosx)2 – mlgcos2x – m2 + 2 = 0 (1)
+(0.50 đ) Điều kiện: cosx > 0 
	Đặt t = lgcosx. Phương trình trở thành: 
	Xét tam thức bậc hai f(t) = có: a = 1, S/2 = m, D’ = 2(m2-1), f(0)=-m2+2.
+(0.25 đ) Trường hợp 1: t = 0 là nghiệm của (2).Khi đó ta có m = .
+ m = : (2) nên (1) Û lgcosx = 0 Û cosx = 1Ûx =2kp, kÎZ.
+ m =-: (2) nên (1) 
Û 
+(0.25 đ) Trường hợp 2: Phương trình (2) có 2 nghiệm t1, t2 khác 0 (t1 £ t2):
	Với điều kiện (1) có nghiệm nên ta chỉ cần xét 2 trường hợp sau: a/ t1 £ t2 < 0; b/ t1< 0 < t2.
+(0.50 đ) a/ t1 £ t2 < 0 .
 Khi đó (2) có hai nghiệm t1, t2 âm nên (1) có các họ nghiệm:.
+(0.50 đ) b/ t1 <0< t2 Û af(0) < 0 Û -m2 + 2 < 0 .
 Khi đó (1) Û lgcosx = t1	.
+(0.50 đ) Kết quả:
+ : (1) có nghiệm: .
+ : (1) có nghiệm: x=2kp ; 
+ : (1) có nghiệm: 
+ m = -1: (1) có nghiệm .
+ : (1) vô nghiệm.
+ : (1) có nghiệm x=2kp , kÎZ.
+ : (1) có nghiệm: .
Bài 2: (2.5 điểm)
 Câu a: ( 2 điểm)
+(0.25 đ) Đặt u = v = 
+(0.25 đ) Ta có hệ 
+(1.00 đ) Hàm số f(u) = u5 – (u – 1)4 có f’(u) = 5u4 – 4(u – 1)3 > 0 "uÎ [1; + ¥), nên f(u) tăng trên [1; + ¥).
+(0.50 đ) a = 64, f(u) = 31 = f(2) và f(u) tăng nên hệ (I) chỉ có một nghiệm: (u = 2,v = 1) từ đó ta có nghiệm của phương trình là: x = 17 .
Câu b: ( 0.5 điểm)
K
A
D
S
M
C
+ f(u) tăng trên [1; + ¥) mà f(1) = 1 nên phương trình có nghiệm khi a – 33 ³ 1 hay a ³ 34.
Bài 3: ( 2.5 điểm)
Câu a: (1 điểm)
+ (0.25 đ) Do M ở trên mặt phẳng phân giác của góc nhị 
diện cạnh AD nên khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng 
(ADB), (ADC) bằng nhau và kí hiệu là d.
+(0.75 đ) Do đó:
Câu b: (1.5 điểm)
+ (0.75 đ) Tính công thức thể tích tứ diện:
+ (0.75 đ) , áp dụng công thức tính thể tích trên ta suy ra:
	Rut gọn, được: .
 Bài 4: (2.5 điểm)
+(0.50 đ) Tính a2, b2 :
+(0.75 đ) Bằng quy nạp, chứng minh được:
+(0.75 đ) Nhân hai vế của (1) và (2) cho và áp dụng công thức sin2a được:
	 .
+(0.50 đ) Tính giới hạn: 
	 .