Đề thi chọn học sinh giỏi bậc PTTH Thừa Thiên Huế năm học 2000-2001 môn: Toán bảng B vòng 1

	SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001.
	 -----------------------	 -------------------------------------------------
	 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN BẢNG B VÒNG 1. 
 SBD	: (180 phút, không kể thời gian giao đề)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: (2.5 điểm) Cho phương trình:	sin2x + cos2x + 4sin3x – 4sinx + 2mcosx + 1 = 0.
	Tìm giá trị của m để cho phương trình có tập nghiệm là:
	 T = { x / }.
Bài 2: (2.5 điểm) Giải phương trình: .
Bài 3: (2.5 điểm) Cho tứ diện ABCD cóhai cạnh đối bằng b, c và các cạnh còn lại bằng a.
	a/ Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách từ một điểm tùy ý trong không gian đến các đỉnh của tứ diện.
	b/ Giả sử tứ diện ABCD thay đổi vị trí trong không gian nhưng có ba đỉnh A, B, C lần lượt ở trên mặt cầu cố định và đồng tâm.
Chứng minh rằng đỉnh D luôn ở trong một hình cầu cố định khi độ dài a, b, c thay đổi thỏa các giả đã cho.
Bài 4: (2.5 điểm) Tìm tham số a để cho hệ sau có nghiệm:
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001.
	 -----------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MÔN TOÁN
BẢNG B – VÒNG 2.
Bài 1: (2.5 điểm)
sin2x + cos2x + 4sin3x – 4sinx + 2mcosx + 1 = 0 (1)
 Û 2sinxcosx + 2cos2x + 4sinx(sin2x + 1) + 2mcosx = 0 Û cosx(sinx + cosx -2sinxcosx +m) = 0
Do đó (1) có tập nghiệm T = { x / }khi chỉ khi (2) chỉ có nghiệm thuộc T hoặc (2) vô nghiệm.
Xét phương trình (2): sinx + cosx – 2sinxcosx + m = 0 
Phương trình (2) có nghiệm thuộc T 
Thử lại: m = 1: Khi đó (3) Û t2 – t – 2 = 0 Û t = -1 hoặc t = 2.
Hệ (I) trở thành: 
Vậy T không phải là tập nghiệm của phương trình đã cho.
 Thử lại: m = -1: Khi đó (3) Û t2 – t = 0 Û t = 0 hoặc t = 1.
 Hệ (I) trở thành: 
 Vậy T không phải là tập nghiệm của phương trình đã cho.
Phương trình (2) vô nghiệm:
f(t) là tam thức bậc hai có D = 5 + 4m, , kí hiệu t1, t2 là hai nghiệm của f(t) = 0.
Do nên hệ (1) vô nghiệm khi chỉ khi:
D < 0 hoặc 
Vậy các giá trị m thỏa đề bài là: .
Bài 2: (2.5 điểm)
Biến đổi phương trình:
Đa thức f(t) = có tối đa 3 nghiệm và ta có: f(-1)=-7; f(0)=1; f(1/2)=-1,f(1)=1
f(t) liên tục trên khoảng (-1;1) và f(-1).f(0) < 0, f(0).f(1/2) < 0, f(1/2).f(1) < 0 nên f(x) = 0 có 3 nghiệm trên khoảng (-1;1).
Do f(t) = 0 có đúng 3 nghiệm trong khoảng (-1;1), nên ta có thể đặt x = cosa với 0 < a < p.
Phương trình (1) trở thành: 
8cos3a – 4cos2a – 4cosa + 1 = 0 Û 4cosa(2cos2a – 1) = 4(1 – sin2a) – 1
Û 4cosa.cos2a = 3 – 4sin2a Û 4sina.cosa.cos2a = 3sina – 4sin3a ( do sina > 0)
Û sin4a = sin3a Û ( với 0 < a < p)
Û .
I
J
A
B
C
D
D’
A’
K0
Câu 3 ( 2.5 đ)
Câu a (1.75 đ)
Ta có thể giả sử AD = b, BC = c và các cạnh còn lại
bằng a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh 
AD, BC. Ta dễ dàng suy ra Ị vuông góc với AD và 
BC và IJ chính là trục đối xứng của tứ diện.
Lấy M tùy ý trong không gian, M’ là điểm đối xứng
 của M qua IJ suy ra trung điểm K của MM’ chính là
 hình chiếu của M trên đường thẳng IJ và ta có:
2(MA + MB + MC + MD) = MA + MB + MC + MD 
 + M’A + M’B+M’C+M’D
 = (MA + M’A) + (MB + M’B) + (MC + M’C) + (MD + M’D)
 £ 2KA + 2KB + 2KC + 2KD (1). 
 ( Do tính chất: trung tuyến của một tam giác thì bé hơn nữa tổng
 của hai cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh của nó).
Do đó: MA + MB + MC + MD £ KA + KB + KC + KD. Bài toán trở thành tìm điểm K trên IJ sao cho KA + KB + KC + KD bé nhất.
Trong mặt phẳng (BCI) dựng hình thang BCD’A’ sao cho IJ là trung điểm của hai đáy và IA = IA’, ID = ID’. Ta thấy rằng: với K tùy ý trên Ị thì KA = KA’ và KD = KD’. Do đó:
 KA + KB + KC + KD = KA’ + KB + KC + KD’ = (KA’ + KC) + (KB + KD’) £ A’C + BD’. 
Vậy KA + KB + KC + KD nhỏ nhất khi K chính là giao điểm K0 của hai đường chéo A’C và BD’.
Tính IJ: IJ2 = DJ2 – ID2 = DC2 – JC2 – ID2 = a2 - .
Tính BD’: .
Tổng các khoảng cách nhỏ nhất là: d = 2BD’ = .
Câu a (0.75 đ)
Gọi r1, r2, r3 là bán kính các mặt cầu tâm O và lần lượt đi qua các đỉnh A, B, C. Ta có:
OD < OC + DC < OC + AB < OC + OA + OB = r1 + r2 + r3. Do đó D ở trong hình cầu cố định tâm O, bán kính R = r1 + r2 + r3. 
Bài 4: (4.0 điểm)
Do (2) nên x – a và a là hai số dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 4 số dương ta được:
Do đó (1) chỉ đúng khi dấu đẳng thức xảy ra tại (3) tức là: 
Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi a = và nghiệm của hệ là: x = .