Đề thi chọn học sinh giỏi bậc PTTH Thừa Thiên Huế năm học 2001-2002 môn: Toán (vòng 1)

	SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIấN HUẾ NĂM HỌC 2001-2002.
	 -----------------------	 -------------------------------------------------
	 ĐỀ CHÍNH THỨC Mụn: TOÁN (VềNG 1). 
 SBD	: (180 phỳt, khụng kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: a/ Tỡm giỏ trị của m để cho hệ cú nghiệm.
	b/ Chứng minh rằng: với x > 0 và y > 0.
Bài 2: Giải phương trỡnh: cos3x + 4sin3x – 3sinx = 0.
Bài 3: Cho hỡnh lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
	Gọi E,G,K lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh A’D’, B’C’và AA’. H là tõm của hỡnh vuụng DCDC’. M,N là hai điểm lần lượt ở trờn hai đường thẳng AD và EG sao cho MN vuụng gúc với KH và cắt KH.
	Tớnh độ dài đoạn MN theo a. 
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIấN HUẾ NĂM HỌC 2001-2002.
	 -----------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM BIỂU VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI MễN TOÁN
LỚP 12 -VềNG 1.
Bài 1: 
Cõu a:
Do đú hệ cú nghiệm khi chỉ khi phương trỡnh:f(x) = x2 + x – (m + 4) = 0 cú nghiệm trong [m;+Ơ) (*) 
f(x) = 0 cú D = 4m + 17 nờn f(x) = 0 cú nghiệm .
Do đú: (*) 
Một số cỏch giải khỏc:
Cỏch 2: 
Hệ (I) cú nghiệm Û x2 + x – (m + 4) = 0 cú nghiệm trờn [-2;2].
Dựa vào đồ thị parabol (P) y = x2 + x – 4 trờn [-2;2], và đường thẳng y = m suy ra kết quả.
Cỏch 3: Giải theo tam thức bậc hai....
Cõu b: Chứng minh rằng: với x > 0 và y > 0.
Đặt t = 
Vỡ x > 0 và y > 0 nờn: t = 
Do đú: .
Bài toỏn trở thành chứng minh: với mọi t > 1.
Xột hàm số y = f(t) = với mọi t > 1.
y’ = nờn hàm số đồng biến trờn khoảng (0; +Ơ).
Do đú: t > 1 ị f(t) > f(1) = 0 ị >0.
Cỏch giải khỏc: Đặt t = và đưa đến chứng minh: . Giải tương tự.
Bài 2: Giải phương trỡnh: cos3x + 4sin3x – 3sinx = 0.
Do cosx = 0 khụng thỏa (1) nờn nhõn hai vế của (1) cho cos3x ta được:
(1) .
Đặt: tgx = t, phương trỡnh (2) trở thành: f(t) = t3 – 3t + 1 = 0 (3).
Đặt: t = 2cosa (vỡ f(-2) = -1 0, f(1) = -1 0 và f(x) = 0 là hàm số liờn tục nờn f(t) cú 3 nghiệm phõn biệt trong (-2;2).
Khi đú (3) trở thành: 8cos3a - 6cosa +1 = 0 Û 2cos3a +1 = 0 Û cos3a = -1/2 
Vậy (3) cú 3 nghiệm phõn biệt: .
Do đú phương trỡnh đó cho cú 3 họ nghiệm:
	 x = b1 + kp, x = b2 + kp, x = b3 + kp với tgbi = ti, i = 1,2,3.
C
C’
A
B
D
E1
A’
B’
D’
E
G
H
H1
N1
I1
I
M
G1
A
B
C
D
G1
E1
M
H1
I1
N1
Bài 3: 
Xỏc định đoạn MN
Gọi E1, N1, G1, H1 là hỡnh chiếu vuụng gúc của E,N,G,H trờn mặt phẳng (ABCD).
Do KH ^ MN (gt) và KH ^ NN1 suy ra KH ^ MN1 , suy ra AH1 ^ MN1 tại I1.
Mà theo giả thiết MN cắt KH tại I suy ra II1 // NN1 mà I là trung điểm của đoạn MN nờn I1 phải là trung điểm của MN1.
Từ đú suy ra cỏch dựng hai điểm M, N.
Tớnh độ dài MN
Đặt a = DAH1 ị H1AN1 = E1N1M = a.
Xột tam giỏc vuụng DAH, ta cú: sina = ị tga = ị cos2a = ị AN1 = .
Xột tam giỏc vuụng AIN1, ta cú: IN1 = AN1.sina = .
(Cỏch khỏc: Gọi P là trung điểm của CG1, suy ra được N1 ở trờn AP, suy ra E1N1 = .)
.
Cỏch khỏc: Dựng phương phỏp tọa độ trong khụng gian....
Bài 4: 
	Ta cú: (1) a lẻ: (un) hội tụ Û hội tụ.
a chẵn: (|un|) hội tụ Û hội tụ.
Bổ đề: dóy (cosna) hội tụ Û a = 2kp, kẻZ.
Chứng minh bổ đề: Nếu a ạ kp Û sina ạ 0. Giả sử (cosna) hội tụ về h, khi đú:
Mà 
Vậy 
Do tớnh duy nhất của giới hạn ta cú: .
Suy ra: mõu thuẩn với: 1 = sin2na + cos2na 0.
Do đú: (cosna) hội tụ Û a = kp.
+ Trường hợp k chẵn: cosna = 1 ị (cosna) hội tụ.
+ Trường hợp k lẻ: xột hai dóy con cos2na đ 1, cos(2n + 1)a đ -1. Vậy (cosna) khụng hội tụ.
Do đú (cosna) hội tụ ị a = 2mp. Đảo lại là hiển nhiờn.
	Trở lại bài toỏn đó cho: Với un = cosa na
 với a = 2kp
khụng tồn tại với a ạ 2kp
Trường hợp k lẻ: (un) hội tụ Û (cosna) hội tụ Û a = 2kp.
	Vậy khi a lẻ: 
 với a = kp
khụng tồn tại với a ạ kp
Trường hợp k chẵn: (un) hội tụ Û |cosna| hội tụ Û cos2na hội tụ Û cos2na hội tụ Ûa = 2kp.
	Vậy khi a chẵn: 
_____________________________________________