Đề thi chọn học sinh giỏi bậc PTTH Thừa Thiên Huế năm học 2002-2003 môn: Toán (vòng 1)

	SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2002-2003.
	 -----------------------	 -------------------------------------------------
	 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (VÒNG 1). 
 SBD	: (150 phút, không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: (3.5 đ) Giải hệ: .
Bài 2: (3.5 đ) Cho hai nữa đường thẳng Ax, By chéo nhau. Hai điểm C, D thay đổi lần lượt ở trên Ax và By sao cho: .
a/Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) chứa CD và song song với AB luôn luôn đi qua một điểm cố định I trong mặt phẳng (Q) chứa Ax và (Q) song song By.
b/Tìm vị trí của C và D sao cho thể tích tứ diện ABCD là nhỏ nhất.
Bài 3: (3.0 đ) 
	a/ Trong mặt phẳng Oxy, cho một đường tròn (C) cắt parabol (P): y = x2 tại bốn điểm, một điểm có tọa độ là (1;1) và ba điểm còn lại là ba đỉnh của một tam giác đều. Tính bán kính của đường tròn (C).
 b/ Tìm tập hợp các tâm của những tam giác đều có ba đỉnh thuộc parabol (P): y = x2 .
____________________________________
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2002-2003.
	 -----------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM BIỂU VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI MÔN TOÁN
LỚP 12 -VÒNG 1.
Bài 1: (3.5 đ) Giải hệ: . (I)
(0.5 điểm) (I) Û 
(1.5 điểm) Giải hệ (II):
(II) 
(4) Û -2cos2(x + y) + cos(x - y) +1 £ 0 Û - [cos(x + y) - 1].[2cos(x + y) +1] 0
 Û cos(x + y) £ hay cos(x + y) ³ 1.
Do đó: (II) Û 
Giải (IV): 
Giải (V): 
(1.5 điểm) Giải hệ (III):
Đặt t = x + p thế vào (III) ta được : .
Theo (II) ta được: 
Do đó: (III) .
Vậy hệ có các họ nghiệm: ; 
y
y’
x
C
N
I
A
M
D’
B
D
Bài 2: (3.5 điểm)
a/ ( 2 điểm)
Hình vẽ: Dựng Ay’ // By. D’ trên Ay’ sao cho:
 AD’ = BD.
 (P) là mp(DCD’), (Q) là mp(Ax, Ay’).
Nhận xét: Với I tùy ý trên D’C. Gọi M, N là các
 điểm trên Ay’,Ax sao cho: MI//Ax, NI // Ay’.
 Ta có: 
 .
Với C,D là hai điểm tùy ý thỏa giả thiết. Trên CD’ tồn tại điểm I sao cho : .
Ta được: 
và: 
Từ (3) và (4) suy ra M. N cố định nên I cố định. Do đó (P) luôn đi qua điểm cố định I trong mặt phẳng (Q).
b/ (1.5 điểm)
Do DABD = DAD’D nên thể tích V của tứ diện ABCD bằng thể tích tứ diện DACD’.
Do D ở trên By // (Q) nên khoảng cách từ D đến (ACD’) không đổi, nên thể tích V nhỏ nhất khi và chỉ khi diênh tích S của tam giác AD’C nhỏ nhất.
S = AC.AD’.sinA = .AC.BD.sinA nên: S nhỏ nhất Û AC.BD nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương: ta có: 
 Dấu bằng xảy ra khi: và .
Vậy: V nhỏ nhất khi: , .
Bài 3: ( 3 điểm)
a/( 1.5 đ) (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2. (C) qua điểm (1;1) nên: R2= (1 – a)2 + (1 – b)2 .
Hoành độ x1, x2, x3 của ba đỉnh tam giác đều và x = 1 là nghiệm của phương trình:
 (x – a)2 + (y – b)2 = (1 – a)2 + (1 – b)2 
Do đó: x3 + x2 + (2 – 2b)x +2 – 2a – 2b º (x – x1)(x – x2)(x – x3) nên:
Từ giả thiết tam giác đều nên: 
Do đó: a = , b = 3 và bán kính đường tròn (C) là: R = .
b/ (1.5 đ)
Thuận:
Giả sử I(a;b) là tâm của tam giác dều ABC có đỉnh trên (P). Đường tròn (ABC) cắt (P) thêm điểm M(x0;y0) ( có thể trùng A, B, C).
xA, xB, xC và x0 là nghiệm của: (x – a)2 + (y – b)2 = (x0 – a)2 + ( – b)2 
Suy ra: 
Hay: , vì vậy: b = 9a2 + 2. Nên tâm I ở trên đồ thị (G): y = 9x2 + 2.
Đảo: Xét I(a; 9a2 + 2) tùy ý trên (G): y = 9x2 + 2. Ta phải chứng minh đường tròn (C) tâm I bán kính IM với M(-3a ; 9a2) cắt (P) thêm 3 điểm là 3 đỉnh của một tam giác đều.
Xét phương trình: (x – a)2 + (x2 – 9a2 – 2)2 = (-3a – a)2 + (9a2 – 9a2 – b)2 (2).
 với f(x) = x3 -3a2x2 - (9a2 + 3)x + 27a3 + 7a (f(x) = 0 chính là phương trình (1) với x0 = - 3a).
Nếu a = 0: f(x) = x3 -3x = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Nếu a ¹ 0: Do f(x) liên tục, và 
nên f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
y
Vậy phương trình f(x) = 0 luôn có 3 nghiệm phân biệt x1, x2, x3 với mọi a.
x
A
B
C
M
I
Ta có: . Do đó: 
Do x1, x2, x3 là 3 nghiệm phân biệt của (2) nên: (C) cắt (P) tại 3 đỉnh A, B , C của tam giác ABC. Và do (3): tam giác ABC có trọng tâm trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I, nên ABC là tam giác đều.
Kết luận: Tập hợp các tâm của những tam giác đều có 3 đỉnh thuộc (P): y = x2 là parabol: 
 (G): y = 9x2 + 2.
___________________________________________________