Đề thi chọn học sinh giỏi bậc PTTH Thừa Thiên Huế năm học 2003-2004 môn: Toán (vòng 1)

	SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2003-2004.
	 -----------------------	 -------------------------------------------------
	 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (VÒNG 1). 
 SBD	: (150 phút, không kể thời gian giao đề)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
nếu x ¹ 0
nếu x = 0
Bài 1: Cho hàm số f(x) = 
a/ Tìm đạo hàm của hàm số và chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
b/ Tìm số a nhỏ nhất để cho: 
Bài 2: Giải hệ bất phương trình:
	 (x > 3).
Bài 3: Tìm hai điểm A, B lần lượt ở trên elip (E) và đường tròn (C):
	 , (C): (x – 11)2 + (y – 13)2 = 34.
 sao cho độ dài AB là nhỏ nhất. 
Bài 4: Tìm số các dãy số (un) thỏa mãn điều kiện:
	.
_______________________________________
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2003-2004.
	 -----------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM BIỂU VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI MÔN TOÁN
LỚP 12 -VÒNG 1.
Bài 1: (2 đ)
Câu a: ( 2 điểm)
(1.5 đ) Tính đạo hàm của hàm số: x ¹ 0 ta có: f’(x) = 2x – 2x.cos - sin.
Tại x = 0: Vì f(x) = 2x2.sin2 với x ¹ 0 và 0 £ sin2£ 1 nên:
 f’(0) = .
(0.5 đ) f(x) = 2x2.sin2 với x ¹ 0 Þ f(x) ³ 0 = f(0) , "x Î R, do đó f(x) đạt cực tiểu tại x = 0.
Câu b: (3 điểm) 
(0.5 đ) .
(1.0 đ) Chứng minh: . (1)
Xét y = g(x) = , "x ¹ 0. Biết rằng 0 <x< Þ sinx < x và với: x ³ Þ sinx £ 1< x.
Do đó: g(x) = 0. Mà g(x) là hàm số chẵn trên D = R\{0}nên g(x) = < 1, 
"x Î D. Vậy (1) là đúng.
(1.0 đ) Tìm a nhỏ nhất: Từ (1) được: <1, "x ¹ 0 Þ <1, "x ¹ 0
 Þ "x ¹ 0 (2) và .
(0.5 đ) h(x) < a, "x ¹ 0 (gt) mà (3).
Dấu đẳng thức xảy ra tại (3) khi: a =là đúng theo (2).Vậy a =.
Bài 2: (5 điểm) (x > 3). 
(2 đ) Đặt y = 2004. Do x > 0, y > 0 nên ta được:
Û x2y + xy > y2x + yx Û x2y – y2x + xy – yx >0 Û (xy – yx)(xy + yx + 1) > 0
 Û xy – yx > 0 Û xy > yx ( do xy + yx + 1 > 0).
(1.5 đ) xy > yx Û ln(xy) > ln(yx) Û ylnx > xlny Û . Vậy: (3).
Biến đổi tương tự, bất phương trình (2) trở thành: (4).
Từ (3) và (4), hệ đã cho trở thành: (5).
(1.5 đ) Xét hàm số: y = f(x) = , y’= 3.
Nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( 3; +¥), do đó: tương đương với
2003 < x < 2004.
Bài 3: (6 điểm)
(0.5 đ) (C) là đường tròn tâm I(11;13) bán kính R =.
 Nhận xét rằng AÎ(E), BÎ(C) nên đoạn AB ngắn nhất thì ba điểm I, A, B thẳng hàng.
(1.5 đ) A(x0;y0) Î nên 
IA2 = (x0 – 11)2 + (y0 – 13)2 = .
IA2 = 290 + 50cos2t + 18sin2t -110cost - 78sint.
(3 đ) .
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi: t = Û A(5;3).
y
x
I
B
A
(1.0 đ) Vậy độ dài AB nhỏ nhất là: d =2-= khi A(5;3) và từ đó suy ra được B(8;8). 
Bài 4: (4 điểm)
(1.5 đ) Viết lại un + 1 = 4un(1 – un) = f(un) với f(x) = 4x(1 – x)
Nhận xét: f(x) Î (0;1) Þ x Î (0;1) .
Vì vậy: u2004 = Î (0;1) Þ u2003 Î (0;1) Þ u2002 Î (0;1) Þ .... u1Î (0;1).
(1 đ) Với 0 < u1 < 1 tồn tại duy nhất a: 0 < a < và u1 = sin2a.
Lúc đó: u2 = 4sin2a( 1 – sin2a) = sin22a; u3 = 4sin22a( 1 – sin22a) = sin24a.
Quy nạp ta được: un = sin2(2n - 1a) = .
(1.5 đ) u2004 = Û= 
 Û 
Vì 0 < a < nên 
Do k ÎZ nên: k = 0; 1; 2; ...; 22003 – 1.
Từ đó có tất cả 22003 giá trị u1 thỏa bài toán: .
Do đó có tất cả 22003 dãy số (un) thỏa điều kiện đã cho.
______________________________________________