Đề thi chọn học sinh giỏi bậc PTTH Thừa Thiên Huế năm học 2003-2004 môn: Toán (vòng 2)

	SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIấN HUẾ NĂM HỌC 2003-2004.
	 -----------------------	 -------------------------------------------------
	 ĐỀ CHÍNH THỨC Mụn: TOÁN (VềNG 2). 
 SBD	: (150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 1: Giải bất phương trỡnh:
	 .
Bài 2: Tỡm cỏc gúc của tam giỏc ABC biết rằng:
Bài 3: Xột cỏc hỡnh chúp n – giỏc S.A1A2...An ( n là số tự nhiờn tựy ý lớn hơn 2) thỏa món đồng thời cỏc điều kiện sau:
a/ Đỏy A1A2...An cú tất cả cỏc cạnh đều bằng 1.
b/ 
Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất độ dài đường cao SH của hỡnh chúp nờu trờn.
Bài 4: Cho nẻ N* . Tỡm cỏc hàm số f: Q đ Q sao cho: 
 f[xn + f(y)] = y + [f(x)]n, "x, y ẻ Q (Q là tập hợp cỏc số hữu tỉ). 
_____________________________________
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH
	 THỪA THIấN HUẾ NĂM HỌC 2003-2004.
	 -----------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM BIỂU VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI MễN TOÁN
LỚP 12 -VềNG 2.
Bài 1: (5 đ) (1).
(1đ) Biến đổi về dạng: ay + by ³ 1: Chia hai vế của (1) cho (1 + x2)cos4x + 3 > 0 ta được:
Û (2).
(4 đ) Tỡm ra nghiệm của (1):
Vỡ 0< x < 1 nờn: và 
Và cos4x + 3 ³ 2 nờn: .
Dấu bằng xảy ra khi chỉ khi: cos4x + 3 = 2 Û cos4x = -1 Û x = (vỡ 0< x <1).
 Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất: x = .
 Cỏch khỏc: Đặt x = tgt, t ẻ nờn 0< x <1 Û 0 < t < .
 (2) Û (sin2t)cos4x + 3 + (cos2t)cos4x + 3 ³ 1.
Bài 2: (5 đ) 
(1 đ) Giải (1): 4p(p – a) Ê bc.
4p(p – a) Ê bc Û (a + b + c)(b + c – a) Ê bc Û (b + c)2 – a2 Ê bc Û (b + c)2– ( b2 + c2 – 2bccosA) Ê bc
 Û 2bc(1 + cosA) Ê bc Û cosA Ê (3) ( vỡ 0 < A < p).
(1.5 đ) Giải (2): 
 Û 
 Û Û 
 Û (4).
(2.5 đ) Tớnh A, B, C:
(4) Û X = 
Do nờn mà nờn:
X ³
Đẳng thức xảy ra khi : 
Vậy tam giỏc ABC cõn đỉnh A và gúc A = 1200, B = C = 300.
Cỏch khỏc: X = 
 Xột hàm số: f(x) = 4x2 – 4x – 3 + 2, và dựa vào tớnh chất đồng biến của f(x) trờn khoảng .
Bài 3: ( 6 điểm)
(3 đ) Chứng minh nếu hỡnh chúp S.A1A2...An tồn tại thỡ khi đú hỡnh chúp là đều:
Chứng minh rằng cỏc cạnh bờn bằng nhau
Đặt : SA1 = x1; SA2 = x2 ; ..... ; SAn = xn.
Dựng định lý cosin trong cỏc tam giỏc S.A1A2 ; S.A2A3 ; ...; S.AnA1 ta cú:
 .......................................................
Đặt , ta cú hệ: với x1, x2, ..., xnẻ
Trờn f(x) đồng biến.
 Do đú: x1 ạ x2 thỡ vụ lý.
 Thật vậy: nếu x1 < x2 ị f(x1) < f(x2) ị . Ta cú x1< x1 ( vụ lý)
 Tương tự nếu x1 > x2 cũng suy ra điều vụ lý: x1>x1. Vậy x1 = x2.
 Do x1 = x2 ta được . Từ đú ta được: x1 = x2 = ... = xn = 1.
Chứng minh đỏy A1A2...An là đa giỏc đều
 Từ SA1 = SA2 = ... = SAn = 1 suy ra hỡnh vuụng gúc H của S lờn đỏy cỏch đều cỏc đỉnh của đỏy
 Đa giỏc A1A2...An cú cỏc cạnh bằng nhau và nội tiếp trong một đường trũn nờn là đa giỏc đều. 
(3 đ) Tỡm SH lớn nhất, nhỏ nhất.
Chứng minh n < 6.
Ta cú cỏc mặt bờn của hũnh chúp là cỏc tam giỏc đều cạnh 1.
Ngoài ra: 600 = A1SA2 < A1HA2 ; 600 = A2SA3 < A2HA3 ; ...; 600 = AnSA1 < AnHA1.
Do đú: n.600 2).
Tớnh SH và tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của SH:
Xột tam giỏc vuụng SHA1: SH2 = .
 n = 3;4;5.
 n = 3: SH = ; n = 4: SH = ; n = 5: SH = .
Do đú giỏ trị lớn nhất của SH là , giỏ trị nhỏ nhất của SH là .
Bài 4: (4 điểm)
(0.5 đ) Chứng minh f song ỏnh: Cho x = 0 được: f[f(y)] = y + [f(0)]n , "yẻQ. (1)
Từ (1) suy ra: + "y1, y2 ẻQ, f(y1) = f(y2) ị y1 = y2.
 + " t ẻQ, t = y + [f(0)]n ị $ yẻQ: f[f(y)] = t.
(1 đ) Chứng minh f(0) = 0: Tồn tại x0 ẻQ: f(x0) = 0.
(1) và (2) ị [f(0)]n + (3).
từ (3) ta cú: n chẵn thỡ x0 = 0; f(0) = 0.
 n lẻ thỡ x0 = - f(x0) và từ (2) ta được: [f(0)]n = 2f(0); do f(0)ẻ Q suy ra f(0) = 0.
(1 đ) Từ f(0) = 0 suy ra: do đú:
f(xn + y) = f[xn + f(f(y))] = f(y) + f(xn) "x,yẻQ (4)
cho y = - xn: f(xn) + f(-xn) = 0 ị f(-xn) = -f(xn), "xẻQ (5).
(1đ) Chứng minh: f(x) = x.f(1), "xẻQ.
Từ (4) quy nạp suy ra: f(k.xn) = kf(xn) , "kẻN, "xẻQ.
k < 0: k = -k’ ( k’ẻ N*)
n lẻ: f(k.xn) = f(k’.(-x)n) = k’.f(-xn) = k.f(xn) ( do (5)).
n chẵn: f(xn) = f[(-x)n] ị f[(x)n] = f[(-x)n] ị f(x) = f(-x) (*) hoặc -f(x) =f(-x) (**).
Với x ạ 0, từ (*) suy ra x = - x ị x = 0 mõu thuẫn, vậy x ạ 0 thỡ f(- x) = f(x). 
Do f(0) = 0 ị "xẻQ: - f(x) = f(-x). Nờn: f(k.xn) = f(-k’.xn) = - f(k’.xn) = - k’.f(xn) = k.f(xn).
Túm lại: "kẻN, "xẻQ: f(k.xn) = kf(xn).
 f(1) = 
 nờn: "pẻZ, "qẻN*.
Vậy f(x) = x.f(1), "xẻQ.
(0.5 đ) Xỏc định cỏc hàm số f: vỡ f(x) = x.f(1), "xẻQ, f91) = [f(1)]n và f(1) ạ 0 nờn
n lẻ: f(1) = ± 1 suy ra f(x) = x hoặc f(x) = - x, "xẻQ.
n chẵn: f(1) = 1 suy ra f(x) = x
Thế lại đều thỏa món phương trỡnh hàm đó cho.
Vậy: n lẻ : f(x) = x hoặc f(x) = -x.
 n chẵn: f(x) = x
___________________________________________