Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2023-2024 - Phạm Hữu Tiệp (Có đáp án)

UBND HUYỆN MƯỜNG TÈ
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề gồm 05 câu

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023 - 2024
Mơn thi: Tốn 
Khối: 8
Ngày thi: ./../20.
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian phát đề)
Họ và tên: Phạm Hữu Tiệp
Đơn vị: Trường PTDTBT TH&THCS Nậm Khao
ĐỀ BÀI
Câu 1 (4,0 điểm): Cho biểu thức: 
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên
Câu 2 (5,0 điểm): 
	a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 	
b) Chứng minh rằng: 1110 - 1 chia hết cho 100.	 
c) Cho P = n4 + 4. Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố
Câu 3 (3,0 điểm): 
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
b) Chứng minh rằng: 
Câu 4 (4,0 điểm): Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED.
a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Tại sao?
b) Tam giác ABC cĩ điều kiện gì thì MNPQ là hình chử nhật?
c) Tam giác ABC cĩ điều kiện gì thì MNPQ là hình thoi?
Câu 5 (2,0 điểm): Cho 3 số dương a, b, c cĩ tổng bằng 1. 
Chứng minh rằng: 
- - - - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - - - - - -
( Giám thị coi thi khơng giải thích gì thêm )
UBND HUYỆN MƯỜNG TÈ
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023 - 2024

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
Mơn: Tốn
(Hướng dẫn chấm gồm: 03 trang)
Câu
Ý
Nội dung đáp án
Điểm
1
(4đ)
a

0,75 điểm

0,75 điểm
=
0,5 điểm
=
0,5 điểm
b
Với Ta cĩ 
0,5 điểm
Để thì (x-1) phải là ước của 2
0,25 điểm
Suy ra 
Xét từng trường hợp tìm x
0,5 điểm
Đối chiếu điều kiện tìm được x = 2 hoặc x = 3 thỏa mãn và kết luận
0,25 điểm
2
(5đ)
a

0,75 điểm

0,75 điểm

0,5 điểm
b
1110 - 1 = ( 11 -1 )()
 = 10()
0,5 điểm
Vì 10 10
và () cĩ chữ số tận cùng ( hàng đơn vị) bằng 0
Nên: () chia hết cho 10
0,75 điểm
Vậy: 1110 - 1 chia hết cho 10.
0,25 điểm
c
P = n4 + 4 = n4 + 4n2 + 4 - 4n2 = (n2 + 2)2  - (2n)2 
= (n2 - 2n + 2)(n2 + 2n + 2) = [(n - 1)2 + 1][(n + 1)2 + 1]. 
0,75 điểm
Vì n là số tự nhiên nên (n + 1)2 + 1 2; 
Như vậy muốn P là số nguyên tố thì phải cĩ (n - 1)2 + 1 = 1 hay (n - 1)2 = 0, suy ra n = 1.
0,5 điểm
Khi đĩ P = 5 là số nguyên tố.
0,25 điểm
3
(4đ)

Phương trình đã cho cĩ thể viết lại là : 
Ta thấy là nghiệm của phương trình đã cho.
0,5 điểm
Với ta xét:
Nếu thì 
Với dễ thấy khơng phải là nghiệm của phương trình
0,5 điểm
Với ta đặt thì nên . Ta cĩ:
Phương trình này vơ nghiệm vì 
0,75 điểm
Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm duy nhất 
0,25 điểm
b
Ta cĩ: Đặt:
0,25 điểm
Khi đĩ, ta cĩ: 
 
0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm
 (đpcm)
0,25 điểm
4
(5đ)

 
0,25 điểm
a

1,5 điểm
Vậy MNPQlà hình bình hành.
0,25 điểm
b
Giả sử MNPQ là hình chử nhật thì MP = NQ
0,5 điểm
Mà
 
1,0 điểm
Vậy tam giác ABC cân tại A thì MNPQ là hình chữ nhật.
0,5 điểm
c
Giả sử MNPQ là hình thoi thì MN = MQ
0,25 điểm

0,5 điểm
Vậy tam giác ABC vuông tại A thì MNPQ là hình thoi.
0,25 điểm
5
(2đ)

Từ: a + b + c = 1 
0,75 điểm

0,75 điểm
Dấu bằng xảy ra a = b = c = 
0,5 điểm
(Học sinh làm cách khác đúng vẫn được điểm tối đa)