Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2023-2024 - Trần Trung Tiến (Có đáp án)

UBND HUYỆN MƯỜNG TÈ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề gồm 05 câu

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn thi: Toán 
Khối: 8
Ngày thi: ./../2023
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Họ và tên: Trần Trung Tiến
Đơn vị: Trường PTDTBT TH&THCS Nậm Khao
ĐỀ BÀI
Câu 1 (4,0 điểm):
Cho biểu thức A = 
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x, để A < 0.
Câu 2 (5,0 điểm): 
	a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 	
b) Cho là số tự nhiên lẻ. Chứng minh chia hết cho 	 
c) Tìm số tự nhiên để là một số chính phương.
Câu 3 (3,0 điểm): 
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
b) Giải phương trình: 
Câu 4 (4,0 điểm): Cho tam giác ABC, D là điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB và AC, chúng cắt các cạnh AC và AB theo thứ tự ở E và F.
a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?
b) Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình thoi?
c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì? Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AEDF là hình vuông?
Câu 5 (2,0 điểm): Cho thỏa mãn 
Chứng minh rằng : 
Họ và tên thí sinh................................................. số báo danh.................
Giám thị số 1............................................Giám thị số 2.................................................
UBND HUYỆN MƯỜNG TÈ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023 - 2024

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
Môn: Toán
CÂU
Ý
NỘI DUNG CẦN ĐẠT
ĐIỂM
1
(4đ)
a
ĐKXĐ: 
0,5 điểm
Với , ta có:
 A=
0,5 điểm
=
0,5 điểm
=
0,5 điểm
= = 
0,5 điểm
b
Ta có: A < 0 (1)
0,5 điểm
Mà với mọi 
Nên (1) 
0,5 điểm
Vậy với x > 1 thì A < 0
0,5 điểm
2
(5đ)
a
= (x2 + 7x + 10)( x2 + 7x + 12) - 24 
0,5 điểm
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 
 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 
0,5 điểm
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16)
0,5 điểm
= (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
0,5 điểm
b
Ta có: 
0,5 điểm
Vì là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết cho 3.
Do đó 
0,5 điểm
Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với suy ra 
0,5 điểm
c
Giả sử 
0,25 điểm
Suy ra 

0,5 điểm
Mặt khác và nên có các trường hợp sau:

0,5 điểm
Vậy các số cần tìm là 
0,25 điểm
3
(4đ)

Phương trình đã cho có thể viết lại là : 
Ta thấy là nghiệm của phương trình đã cho.
0,5 điểm
Với ta xét:
Nếu thì 
Với dễ thấy không phải là nghiệm của phương trình
0,5 điểm
Với ta đặt thì nên . Ta có:
Phương trình này vô nghiệm vì 
0,75 điểm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
0,25 điểm
b

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm
Vì
0,5 điểm
4
(5đ)

 

a
Xét tứ giác AEDF, có: DE // AF, DF // AE (gt) 
1,0 điểm
Suy ra AEDF là hình bình hành.
1,0 điểm
b
Giả sử AEDF là hình thoi khi đó AD là tia phân giác của góc A. 
1,0 điểm
Vậy nếu D là giao điểm của tia phân giác góc A với cạnh BC thì AEDF là hình thoi.
1,0 điểm
c
Nếu ΔABC vuông tại A thì hình bình hành AEDF có góc EAF = 900 nên AEDF là hình chữ nhật.
0,5 điểm
Nếu ABC vuông tại A và D là giao điểm của tia phân giác của góc A với cạnh BC thì AEDF là hình vuông (vì vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi).
0,5 điểm
5
(3,5 đ)

Bài toán phụ : Chứng minh rằng 
Chứng minh 

0,5 điểm
Áp dụng bài toán phụ (1) ta có:
(2)
Mà 
(vì 
0,5 điểm
Với ta có: 
(vì 
0,75 điểm
Từ (2) và (3) suy ra : 
0,25 điểm

(Học sinh làm cách khác đúng vẫn được điểm tối đa)