Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Cẩm Thủy (Có đáp án)

ĐỀ THI CHỌN HSG HUYỆN CẨM THỦY (THANH HÓA) – V2 
NĂM HỌC 2019-2020
Câu 1. (4,0 điểm) 
	1) Cho biểu thức: 
	a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
	2) Với a, b, c là 3 số thực đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
Câu 2. (4,0 điểm)
	a) Giải phương trình: 
	b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Câu 3. (4,0 điểm)
	a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì không là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. 
	b) Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng đi qua Biết đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ dương, cắt trục tung tại điểm B có tung độ dương. Tìm a, b sao cho nhỏ nhất. (Với O là gốc tọa độ)
Câu 4. (6,0 điểm) Cho đường tròn (O, r) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh BC tại D. Vẽ đường kính DN của (O, r). Tiếp tuyến của (O) tại N cắt AB, AC theo thứ tự tại P và K.
a) Chứng minh rằng 
b) Gọi E là giao điểm của AN và BC. Chứng minh rằng 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho Chứng minh rằng: 
----------------------Hết---------------------
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG TOÁN 9 – NĂM HỌC 2019 - 2020
(HUYỆN CẨM THỦY)
Câu 1. (4,0 điểm) 
	1) Cho biểu thức: 
	a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
	2) Với a, b, c là 3 số thực đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải:
1) ĐKXĐ: 
a) Có: 
b) Có: 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy 
2) Đặt: 
 (đpcm)
Câu 2. (4,0 điểm)
	a) Giải phương trình: 
	b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 
Hướng dẫn giải:
	a) 
ĐK: 
Ta có: 
 Vì: 
. Vậy phương trình có nghiệm là: 
b) Có: 
Với 
Với (vô nghiệm)
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.
Câu 3. (4,0 điểm)
	a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố p thì không là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. 
	b) Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng đi qua Biết đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ dương, cắt trục tung tại điểm B có tung độ dương. Tìm a, b sao cho nhỏ nhất. (Với O là gốc tọa độ)
Hướng dẫn giải:
a) Với (không phải tích 2 số tự nhiên liên tiếp)
Với (không phải tích 2 số tự nhiên liên tiếp)
Với 
- Nếu 
 (không phải tích 2 số tự nhiên liên tiếp)
- Nếu 
 (không phải tích 2 số tự nhiên liên tiếp)
Vậy với mọi số nguyên tố không phải là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.
b) Vì đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ dương, cắt trục tung tại điểm B có tung độ dương 
Do đồ thị là đường thẳng đi qua 
Có: Dấu “=” xảy ra hay cân tại O.
Vì: 
Với 
Vậy thì đạt giá trị nhỏ nhất là: 5 + 5 = 10.
Câu 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn (O, r) nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh BC tại D. Vẽ đường kính DN của (O, r). Tiếp tuyến của (O) tại N cắt AB, AC theo thứ tự tại P và K.
a) Chứng minh rằng 
b) Gọi E là giao điểm của AN và BC. Chứng minh rằng 
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Hướng dẫn giải:
a) Có: // (cùng ) (đồng vị)
Gọi Kx là tia phân giác của // CO (Vì CO là tia phân giác của )
Mà: (tia phân giác trong và phân giác ngoài)
 (cùng phụ với )
 (đpcm)
b) Cách 1: 
Ta có: 
Mà: 
Tương tự: 
Từ (1) và (2) 
Mặt khác: KP // BC 
Từ (3) và (4) (đpcm).
Cách 2:
Ta có: 
Mà: (Vì: // )
 (đpcm)
c)
Gọi 
Ta có: 
Mà: 
Tương tự: 
Dấu “=” xảy ra hay đều.
Vậy đều.
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho Chứng minh rằng: 
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
(đpcm)
Dấu “=” xảy ra