Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng GD&ĐT Yên Thành (Có đáp án)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN YÊN THÀNH - NĂM 2019-2020
(3.0đ) 
Tồn tại hay không các số nguyên tố thỏa mãn điều kiện 
Tìm giá trị nguyên của thỏa mãn 
(6.0đ) 
Giải phương trình: 
Cho thỏa mãn . Chứng minh .
(3.0đ) 
Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng:
(6.0đ) 
Cho tam giác nhọn , Ba đường cao cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm và . Đường thẳng qua I và song song với cắt lần lượt tại B và Q.
Chứng minh: .
Chứng minh: .
Gọi M là trung điểm của chứng minh I là trực tâm của tam giác .
(2.0đ) 
Trong mặt phẳng cho 6 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Với ba điểm bất kỳ trong số 6 điểm này luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhở hơn 673. Chứng minh rằng trong sáu điểm đã cho luôn tìm được ba điểm là ba đỉnh một tam giác có chu vi nhỏ hơn 2019.
(Hết)
LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN YÊN THÀNH - NĂM 2019-2020
(3.0đ) 
Tồn tại hay không các số nguyên tố thỏa mãn điều kiện 
Tìm giá trị nguyên của thỏa mãn 
Lời giải
Giả sử tồn tại 3 số nguyên tố thỏa mãn điêu kiện: 
Khi đó ta có: là số nguyên tố lẽ.
chẵn
Nếuthì là hợp số (trái với giả thiết)
Nếu thì là số nguyên tố lẻ (với )
Vì 
Lại có: 
là hợp số (trái với giả thiết)
Vậy không tồn tại các số nguyên tố thỏa mãn điều kiện 
Ta có : 
Vậy 
(6.0đ) 
Giải phương trình: 
Cho thỏa mãn . Chứng minh .
Lời giải
ĐKXĐ của phương trình là: 
Ta có: 
* Trường hợp 1: 
* Trường hợp 2: 
Vậy phương trình có hai nghiệm là: và .
Ta có: 
+
 (Vì )
 .
2. Áp dụng bất đẳng thức Cô-Sy cho hai số dương ta có:
	(1)
Tương tự: 	(2)
	(3)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3) ta được:
.
(6.0đ) 
Cho tam giác nhọn , Ba đường cao cắt nhau tại H. Gọi I là giao điểm và . Đường thẳng qua I và song song với cắt lần lượt tại và Q.
1/ Chứng minh: .
2/ Chứng minh:.
3/ Gọi M là trung điểm của . chứng minh I là trực tâm của tam giác .
Lời giải
Chứng minh: 
Ta có: 
Xét có:
Kẻ AK và HN vuông góc với EF ()
Ta có: (cùng vuông góc với )
	(1)
	Lại có: 	(2)
Mặt khác: 
Và 
	(3)
Từ (1), (2) và (3) 	(*)
Vì nên áp dụng quan hệ định lý Ta-Lét ta có: 	(**)
Từ (*) và (**) 
Ta có: 
Vìlà trung điểm của 
Và 
	(1)
Lại có: (2)
Từ (1) và (2)
Mặt khác: 
Mà cắt tại suy ra là trực tâm của . 
(2.0đ) 
Trong mặt phẳng cho 6 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Với ba điểm bất kỳ trong số 6 điểm này luôn tìm được hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhở hơn 673. Chứng minh rằng trong sáu điểm đã cho luôn tìm được ba điểm là ba đỉnh một tam giác có chu vi nhỏ hơn 2019.
Lời giải
-Tổng số đoạn thẳng được sinh ra từ 6 điểm đã cho là: (đoạn thẳng)
- Trong 15 đoạn thẳng trên các đoạn thẳng (với ; 6}) có độ dài nhỏ hơn 673 được tô bởi mà đỏ. Các đoạn thẳng còn lại được tô bởi màu xanh.
- Khi đó, trong một tam giác bất kì luôn tồn tại một cạnh màu đỏ và các tam giác có 3 cạnh được tô cùng màu đỏ có chu vi nhỏ hơn 2019.
- Vì thế, ta chỉ cần chứng minh luôn tồn tại một tam giác có 3 cạnh đều là màu đỏ.
- Thật vậy: Nối điểm với 5 điểm còn lại ta được 5 đoạn thẳng gồm 
- Theo nguyên lí Dirichlet trong 5 đoạn thẳng này luôn tồn tại 3 đoạn thẳng được tô cùng màu.
- Không mất tính tổng quát, Giả sử có cùng màu xanh, khi đó tam giác có 3 cạnh được tô cùng màu đỏ (vì trong một tam giác bất kì luôn tồn tại một cạnh màu đỏ)
- Nếu 3 đoạn thẳng có cùng màu đỏ, khi đó tam giác có một cạnh được tô bởi màu đỏ (trong một tam giác bất kì luôn tồn tại một cạnh màu đỏ). Giả sử cạnh được tô bởi màu đỏ, Ta có tam giác có З cạnh được tô cùng màu đỏ.
- Bài toán được chứng minh.
(Hết)