Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học 2013-2014 môn thi : toán lớp 7

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI : TOÁN 7
Ngày thi: 12/4/2014
Thời gian làm bài: 120 phút.
Bài 1: (6,0 điểm).
	Tính:
	a) A = 4.()3 - 2.( )2 + 3.( ) + 1
	b) .
c) C = 
Bài 2: (4,0 điểm).
	a) Tìm x,y Biết = và x.y = 112
b) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là các số khác 0 thoả mãn: thì 
Bài 3: (4,0 điểm).	
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 	b) Tìm số có 3 chữ số biết rằng số đó chia hết cho 36 và các chữ số của nó tỷ lệ với 1 ; 2 ; 3.
Bài 4: (4,0 điểm).
	Cho tam giác ABC cân tại A (). Kẻ phân giác BD (). Trên tia AB lấy điểm M sao cho AM = BC.
Chứng minh BD + AD = BC
Tính 
Bài 5: (2,0 điểm).
	Tìm các số a,b,c nguyên dương thoả mãn a+3a+5 = 5b và a + 3 = 5c





Họ và tên thí sinh:.............................................Số báo danh: ................................
 
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI
 CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
KÌ THI NGÀY 12/4/2014
MÔN THI : TOÁN 7

Ghi chú: Đáp án chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi 
bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, hình vẽ sai không chấm điểm. Nếu HS giải cách khác đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.
Bài
Phương pháp-Kết quả
Điểm
Bài 1
( 6 điểm)
a) A = 4.()3 - 2.( )2 + 3.( ) + 1
= 4.() - 2. +1 
 = - +1 
= - 
Vậy A = - 

0.5 đ


0.5 đ


0.5 đ

0.5 đ

b) 





0.5đ

 (có 50 thừa số âm )


0.5đ

 . 
Vậy 

0.5 đ

0.5 đ

c) 
C = 
= 
 =





0,5đ


0,5 đ


0,5 đ


0,5 đ
Bài 2
(4 điểm)

a) Ta có = = = 
 x2 = = 64 
 x = 8 hoặc x = -8 
 Nếu x = 8 = y = 14
 Nếu x = - 8 = y = - 14 



0.5 đ

0.5 đ

0.5 đ

0.5 đ

b) Ta có:
 

Do đó:








0.5 đ







0.5 đ



0.5 đ


0.5 đ
Bài 3
(4 điểm)
a) Áp dụng BĐT 
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng dấu 
(HS không làm phần này vẫn cho điểm tối đa)
Ta có P = =
P 

Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi (x-2013) và (2014-x) cùng dấu

Hay 2013 x 2014

Vậy minP = 1 khi và chỉ khi 2013 x 2014

b) Gọi ba chữ số của số phải tìm là a, b,c ta có :
 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được
 = (*)
Do số phải tìm chia hết cho 36 nên số đó chia hết cho 9 suy ra a+b+c chia hết cho 9
Mà a, b, c là các chữ số có ít nhất một chữ số khác 0 nên a+b +c chỉ có thể nhận một trong ba giá trị : 9; 18;27
Nếu a+b +c = 9 Từ (*) ta có = => a= 9/6 (không thoả mãn vì a là chữ số) 
Nếu a+b +c = 18 kết hợp (*) ta có a =3 ; b = 6; c = 9 vì số phải tìm chia hết cho 36 nên chữ số hàng đơn vị chẵn ta có số 396; hoặc 936 
Nếu a +b + c = 27 từ (*) => a=27/6 (loại)
Thử lại ta thấy cả hai số 396 và 936 đều thoả mãn 
Vậy số phải tìm là 936 và 396 . 



0.5 đ

0.5 đ

0.5 đ

0.5 đ





0.5 đ



0.5 đ






0.5 đ

0.5 đ
Bài 4
(4 điểm)













Từ D kẻ DE//BC, trên BC lấy điểm F sao cho BD = BF (1)
Chứng minh được DE = BE (tam giác BED cân)














0.5 đ

Do tam giác AED cân nên AD =AE suy ra BE = CD
Vậy DE = CD

0.5 đ

Tam giác BDF cân có nên suy ra 
Vậy tam giác DFC có 

Chứng minh được (2)
0.5 đ


Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

0.5 đ


Dựng tam giác đều AMN sao cho N và C ở cùng một phía so với AB. 


0.5 đ

Vì 
 Suy ra AC = CN = AB 

0.5 đ

vậy MC là trung trực của AN

0.5 đ

Nên 
0.5 đ
Bài 5
(2 điểm)
Do a Î Z + => 5b = a3 + 3a2 + 5 > a + 3 = 5c
=> 5b > 5c => b>c
=> 5b 5c
=> (a3 + 3a2 + 5) ( a+3)
=> a2 (a+3) + 5 a + 3

0.5 đ


Mà a2 (a+3) a + 3 [do (a+3) (a+3)]
=> 5 a + 3
=> a + 3 Î Ư (5)
0.5 đ


=> a+ 3 Î { ± 1 ; ± 5 } (1)
Do a Î Z+ => a + 3 ³ 4 (2)
Từ (1) và (2)
=> a + 3 = 5 => a = 5 – 3 =2
0.5 đ


=> 23 + 3 . 22 + 5 = 55 25 = 5b 52 = 5b b = 2
 2 + 3 = 5c 5 = 5c 5 = 5c c = 1
Vậy : 	a = 2
b = 2
c = 1	

0.5 đ