Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Thủy Nguyên năm học 2013 – 2014 môn: Toán 9

UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2013 – 2014 
MÔN: TOÁN 9 
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) 
Bài 1. (1,75 điểm) 
1. Rút gọn các biểu thức 
a) A = 5 3 29 12 5   
b) 
2
a a b b a b b a a b
B :
a b b a a b
    
    
    
 với a, b  0 và a  b. 
2. Cho các số dương a, b thỏa mãn: 2 2a b 2014 a 2014 b     . Chứng minh rằng 
a2 + b2 = 2014. 
Bài 2. (2,0 điểm) 
1. Giải phương trình sau: 2x 9 3 x 3 0    . 
2. Cho ba đường thẳng (d1): 
1
y x
3
 ; (d2): y = x + 2 và (d3): y = (2m + 3)x + 4 - m. Tìm giá 
trị của m để ba đường thẳng (d1); (d2) và (d3) đồng quy. 
Bài 3. (1,5 điểm). 
1. Cho số gồm ba chữ số abc . Chứng minh rằng nếu số abc chia hết cho 37 thì số gồm ba 
chữ số bca cũng chia hết cho 37. 
2. Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2012 2013 2014 0    x xy x y 
Bài 4. (2,0 điểm) 
 Cho tam giác ABC. Gọi P là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó. 
Đường thẳng qua P và vuông góc với CP, cắt CA và CB theo thứ tự tại M và N. Chứng 
minh rằng: 
a)   AMP APB BNP  b) 
2
2
AM AP
NB PB
 
Bài 5. (2,0 điểm) 
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc đường 
tròn (O) khác A và B. Các tiếp tuyến của (O) tại A và M cắt nhau tại E. Vẽ MP vuông góc 
với AB (P thuộc AB), vẽ MQ vuông góc với AE (Q thuộc AE). Gọi I là trung điểm của PQ. 
a) Chứng minh O, I, E thẳng hàng. 
b) Gọi K là giao điểm của EB và MP. Chứng minh IK song song với AB. 
Bài 6. (0,75 điểm) Cho x, y là các số không âm thỏa mãn 2 2x y 2  . Chứng minh rằng : 
    S 1 2x 1 2y 2 3 
=====hết=====
 UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI 
Môn thi: Toán 9 
Bài Đáp án Điểm 
1a) A = 5 3 29 12 5   = 25 3 (2 5 3)   
 = 5 3 2 5 3   = 25 ( 5 1)  
 = 5 5 1  = 1 
0,25 
0,25 
1b) 
       
 
2
a b a ab b ab a b a b a b
B :
a b a b a b
        
    
     
   
 =  
2
a 2 ab b : a b ... 1       
0,25 
0,25 
Bài 1 
(1,75 điểm) 
2) 2 2 2 2a b 2014 a 2014 b a 2014 b 2014 a b           
   
 
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
a 2014 b 2014 a b a b 2014 2014 a b
a 2014 b 2014 a b a 2014 b 2014 a b
a b 2014 a b 2014
a 2014 b 2014 a b
1 1
a b 2014 0
a 2014 b 2014 a b
a b 2014 0 a b 2014
       
   
       
   
  
   
 
     
    
      
0,25 
0,25 
0,25 
1) ĐK : x  3. 
 2x 9 3 x 3 0 x 3. x 3 3 0
x 3 0 x 3
(TMDK)
x 6x 3 3 0
        
   
      
0,25 
0,25 
0,5 
Bài 2 
(2,0 điểm) 2) Tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d1) và (d2) là nghiệm của hệ : 
1
x 3y x
3
y 1
y x 2

  
 
   
 nên A(- 3 ; - 1). 
Ba đường thẳng (d1); (d2) và (d3) đồng quy khi A(- 1 ; - 3) thuộc (d3). 
0,5 
Nên ta có :    
4
2 3 3 4 1 7 4
7
m m m m

            
0,5 
1) Theo đề bài abc 37 nên 10. abc 37 
hay    1000a 100b 10 37 999a 100b 10c a 37       
  999a bca 37   (1) 
Do 999a 37 nên từ (1) suy ra bca 37 
0,25 
0,25 
0,25 
Bài 3 
(1,5 điểm) 
2) 2 2012 2013 2014 0x xy x y     
2 2013 2013 2013 1x xy x x y       
( 1) 2013( 1) 1 ( 2013)( 1) 1           x x y x y x x y 
2013 1 2014
1 1 2014
2013 1 2012
1 1 2014
  
  
  
     
   
  
    

   
     
x x
x y y
x x
x y y
0,25 
0,25 
0,25 
Hình vẽ đúng cả bài 
2
1
21
N
M
P
B
C
A
0,25 
a)Chứng minh được: 

0 CAMP 90
2
  ;

0 CBNP 90
2
  ; 
 

0 CAPB 90
2
    AMP BNP APB   
0,5 
0,25 
Bài 4 
(2,0 điểm) 
b) - Chứng minh được: ∆AMP ∽ ∆ APB (g.g) 
AM AP
MP PB
  (1) 
 - Chứng minh được: ∆APB ∽ ∆PNB (g.g) 
PN AP
NB PB
  (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
2
2
AM PN AP
MP NB PB
   
2
2
AM AP
NB PB
  (do MP = NP) 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Hình vẽ đúng cả bài 
K
I
M
Q
P
B
O
A
E
0,25 
a) Tứ giác APMQ có:    oEAO APM PMQ 90   
Do đó tứ giác APMQ là hình chữ nhật 
Suy ra I là trung điểm của AM. 
Có: OM = OA (Bán kính); EM = EA (định lí về t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) 
nên OE là trung trực của AM suy ra OE đi qua I 
Vậy O, I, E thẳng hàng. 
0,25 
0,25 
0,25 
0,25 
Bài 5 
(2,0 điểm) 
b) Ta có 
 

 
OI AM
BM AM
 OI // BM suy ra  AOE ABM (hai góc đồng vị) 
 AOE PBM ∽ (g.g)  
AO AE
BP MP
 (1) 
Mặt khác, vì KP//AE suy ra 
KP BP
AE AB
 (2) 
Từ (1) và (2) ta có : AO.MP = AE.BP = KP.AB mà AB = 2.OA 
Suy ra MP = 2.KP hay K là trung điểm của MP. 
Do đó IK là đường trung bình của AMP nên IK // AB. 
0,25 
0,25 
0,25 
Bài 6 
(0,75 điểm) 
Ta thấy : 
 
 
    
21 2x 4 x 5
1 2x 1 2x .3
3 2 3 2 3
 (BĐT Cô si) 
 
 
    
21 2y 4 y 5
1 2y 1 2y .3
3 2 3 2 3
Suy ra: 
2 2x y 10
S 2 3
2 3
 
  
Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1. 
0,25 
0,25 
0,25 
Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.