Đề thi chọn học sinh giỏi cấp Quận môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD&ĐT Nam Từ Liêm (Có đáp án)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN
QUẬN NAM TỪ LIÊM
MÔN TOÁN 9 - NĂM HỌC: 2020 - 2021
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1.	(4,0 điểm)
1. Cho biểu thức với
a) Rút gọn biểu thức 
b) Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
2. Cho biểu thức . Chứng minh rằng là một số nguyên.
Bài 2.	(4,0 điểm)
1. Cho là các số nguyên cùng chia hết cho . Chứng minh rằng: cũng chia hết cho (q là số tự nhiên).
2. Cho là các số nguyên thỏa mãn 
Chứng minh rằng: viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.
Bài 3.	(4,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 
2. Giải phương trình : 
Bài 4.	(6,0 điểm)
Cho hình vuông độ dài cạnh bằng và có tâm là . Điểm là một điểm di chuyển trên ( khác và ). Gọi là giao điểm của tia và đường thẳng . là giao điểm của và .
1) Chứng minh rằng: không đổi.
2) Chứng minh: .
3) Gọi là giao điểm của và . Tìm vị trí của điểm để diện tích tam giác đạt giá trị lớn nhất.
Bài 5.	(1,0 điểm)
Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng một màu hoặc đôi một khác màu.
–HẾT—
ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN
QUẬN NAM TỪ LIÊM
MÔN TOÁN 9 - NĂM HỌC: 2020 - 2021

Bài 1.	(5,0 điểm)
1. Cho biểu thức với
a) Rút gọn biểu thức 
b) Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
2. Cho biểu thức . Chứng minh rằng là một số nguyên.
Lời giải
1. a) Rút gọn biểu thức 
 với
Vậy với
b) Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Với ta có: . Áp dụng bất đẳng thức Cô- Si ta có:
Mặt khác: 
Hay 
Do đó: .Dấu “=” xảy ra.
Vậy tại .
2. Ta có:
 ( Vô lí)
Vậy là một số nguyên.
Bài 2.	(4,0 điểm)
1. Cho là các số nguyên cùng chia hết cho . Chứng minh rằng: cũng chia hết cho (q là số tự nhiên).
2. Cho là các số nguyên thỏa mãn 
Chứng minh rằng: viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.
Lời giải
1. Ta có: dư 
dư 
dư 
Do đó: dư hay 
Ta có: 
Mà dư nên 
Do đó: 
Vậy cũng chia hết cho (q là số tự nhiên).
2. Ta có: 
Do đó: với mọi thì chia dư . Nên với lẻ thì chia dư 
Suy ra: không xảy ra (vì vế trái chia 8 dư 1, vế phải chia 8 dư 3 )
Vậy trong các số có ít nhất 1 số chẵn. Ta có: là số lẻ.
Đặt 
Vậy ta có được điều phải chứng minh.
Bài 3.	(4,0 điểm)
1. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 
2. Giải phương trình : 
Lời giải
1. Tìm số nguyên x,y thỏa mãn:
Vì và vai trò của x,y như nhau; ta giả sử ; suy ra:
 Mà là số chính phương 
+ TH1: không có giá trị 
+ TH2: 
Vậy 
2. Giải phương trình : (ĐK: )
Vì 
Giải phương trình bình phương 2 vế ta có :
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
Bài 4.	(6,0 điểm)
Cho hình vuông độ dài cạnh bằng và có tâm là . Điểm là một điểm di chuyển trên ( khác và ). Gọi là giao điểm của tia và đường thẳng . là giao điểm của và .
1) Chứng minh rằng: không đổi.
2) Chứng minh: .
3) Gọi là giao điểm của và . Tìm vị trí của điểm để diện tích tam giác đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải
1) Kẻ 
Ta có: 
Trong vuông tại có: 
 không đổi
Vậy không đổi.
2) cắt tại ; cắt tại 
Ta có: 
Do 
Mặt khác (do )
Từ 
 là hình bình hành
Mà 
3) cắt tại 
Áp dụng định lí Papuyt thẳng hàng
Lấy sao cho 
 là hình bình hành
Mà 
 vuông tại C
Kẻ 
Gọi là giao điểm của và 
Ta có: 
Mà 
Do đó: 
Dấu "=" xảy ra là trung điểm 
Bài 5.	(1,0 điểm)
Tất cả các điểm trên mặt phẳng đều được tô màu, mỗi điểm được tô bởi một trong 3 màu xanh, đỏ, tím. Chứng minh khi đó luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng một màu hoặc đôi một khác màu.
Lời giải
Xét ngũ giác đều ABCDE, ta nhận thấy ba đỉnh bất kì của ngũ giác luôn tạo thành một tam giác cân.
Do đó khi tô 5 đỉnh bởi đủ 3 loại màu đã cho thì tồn tại 2 khả năng:
- Nếu tô 5 đỉnh bởi đủ ba loại màu đã cho thì tồn tại 3 đỉnh có màu khác nhau và tạo thành một tam giác cân.
- Nếu tô 5 đỉnh bởi nhiều nhất 2 màu thì có ít nhất 3 đỉnh cùng màu và tạo thành một tam giác cân.
Vậy, luôn tồn tại ít nhất một tam giác cân có 3 đỉnh thuộc các điểm của mặt phẳng trên mà 3 đỉnh của tam giác đó có cùng một màu hoặc đôi một khác nhau.