Đề thi chọn học sinh giỏi cấp thành phố thành phố Hồ Chí Minh lớp 9-THCS năm 2011 Môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 	 LỚP 9-THCS NĂM 2011
	 MƠN TỐN	
 	 Thời gian làm bài : 150 phút 
	 	 Ngày thi : 23.03.2011

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1 : (4 điểm) Thu gọn các biểu thức:
A = với .
B = với . 
Bài 2 : (4 điểm) 
Chứng minh với a, b, c, d là các số thực.
 Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: .

Bài 3: (3 điểm)
	Cho phương trình:( là ẩn số)
 Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt.
 Tìm m để phương trình cĩ ít nhất một nghiệm dương.
 Tìm m để phương trình cĩ ít nhất một nghiệm âm.

Bài 4: (3 điểm)
 a) Giải hệ phương trình .
 b) Chứng minh rằng số cĩ dạng chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n.

Bài 5 : (4 điểm) 
	Trên hai cạnh Ox, Oy của gĩc vuơng xOy ta lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB. Một đường thẳng đi qua A cắt OB tại M (M ở trong đoạn thẳng OB). Từ B kẻ đường vuơng gĩc với AM, cắt AM tại H, cắt AO kéo dài tại I.
Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHI là tứ giác nội tiếp được.
Từ O kẻ đường vuơng gĩc với BI tại K. Chứng minh OK = KH. Điểm K di động trên đường cố định nào khi M di động trên OB?

Bài 6 : (2 điểm) 
 Cho tam giác ABC cân tại B và gĩc ABC bằng 80o. Lấy điểm I trong tam giác ABC sao cho gĩc IAC bằng 10o và gĩc ICA bằng 30o. Hãy tính gĩc AIB.

HẾT
 
ĐÁP ÁN
Bài 1 : (4 điểm) Thu gọn các biểu thức:
a)A = với .
b)B = với . 
 Giải:
A = 
b) B = với 
B=
 
Bài 2 : (4 điểm) 
a)Chứng minh với a, b, c, d là các số thực.

Giải:
 Nếu ad + bc < 0 : Bất đẳng thức đúng.
 Nếu ad + bc 0 :
	Bất đẳng thức tương đương với : 
	
	( đúng)
 
 b)Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: .
 Giải:
	Ta cĩ : ( đúng)
 Nên : 
	Tương tự ta cũng cĩ : và 
	Cộng ba kết quả trên ta cĩ đpcm.

Bài 3: (3 điểm)
Cho phương trình:( là ẩn số)
a)Tìm m để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt.

Để phương trình cĩ hai nghiệm phân biệt thì : 

b)Tìm m để phương trình cĩ ít nhất một nghiệm dương.
Do câu trên ta cĩ hai nghiêm của phương trình là : 
Để phương trình cĩ ít nhất một nghiệm dương: 

c)Tìm m để phương trình cĩ ít nhất một nghiệm âm.

Để phương trình cĩ ít nhất một nghiệm âm: 
 
 Bài 4 : (3 điểm) 
 a)Giải hệ phương trình .
(1) : 
Thay vào (2) : 

 ; z=
	
 b)Chứng minh rằng số cĩ dạng chia hết cho 24 với mọi số tự 
 nhiên n:

	Ta phân tích được :A= 
	Trong hai số n và n+1 cĩ một số chẵn nên A chia hết cho 2
	Trong ba số liên tiếp n, n+1 và n+2 cĩ một số là bội của 3 nên A chia hết cho 3.
 Trong bốn số liên tiếp n, n+1 , n + 2 và n+3 cĩ một số là bội của 4 nên A chia 
 hết cho 4.
	Vậy A là bội của 24. ( đpcm)

 Bài 5 : (4 điểm) 
	Trên hai cạnh của gĩc vuơng xOy ta lần lượt lấy hai điểm A và B sao cho 
 OA = OB. Một đường thẳng đi qua A cắt OB tại M (M ở trong đoạn thẳng OB). 
 Từ B hạ đường vuơng gĩc với AM tại H, cắt AO kéo dài tại I.
a)Cĩ nhận xét gì về hai đoạn OI và OM, về tứ giác OMHI? Chứng minh những nhận xét đĩ.
b)Từ O kẻ đường vuơng gĩc với BI tại K. Chứng minh OK = KH. Điểm K di động trên đường cố định nào khi M di động trên OB?






 
 Giải bài 5:















Ta cĩ MI vuơng gĩc với BA vì M là trực tâm của tam giác ABI và gĩc MIO bằng với gĩc JAI vì gĩc JAI bằng 45o.
Vậy gĩc MIO cũng bằng 45o. Suy ra tam giác vuơng MOI là tam giác vuơng cân cho ta OM=OI.
	 Ta cĩ tứ giác OMHI cĩ hai gĩc vuơng đối diện là MOI và MHI nên là tứ giác 
 nội tiếp được.

 b) Do tứ giác OMHI là tứ giác nội tiếp được nên gĩc OHI bằng với gĩc OMI và 
 bằng 45o.
 Vậy tam giác vuơng OKH là tam giác vuơng cân cho ta OK = KH.
 Ta cĩ điểm K di động luơn nhìn đoạn cố định OB dưới một gĩc vuơng nên K 
 lưu động trên đường trịn cố định đường kính OB.

	Bài 6 : (2 điểm) 
 Cho tam giác ABC cân tại B và gĩc ABC bằng 80o. Lấy điểm I trong tam giác ABC sao cho gĩc IAC bằng 10o và gĩc ICA bằng 30o. Hãy tính gĩc AIB.
 Giải









	Vẽ đường phân giác của gĩc BAI, đường này cắt CI tại K.
	Ta cĩ gĩc BAC bằng 50o và gĩc IAC bằng 10o nên gĩc BAI bằng 40o.
	Vậy gĩc KAI bằng 20o.Suy ra gĩc KAC bằng 30o bằng với gĩc KCA.
	Hai điểm B và K cùng cách đều hai điểm A và C nên BK là đường trung trực và cũng là 
 đường phân giác của gĩc ABC.
 Ta cĩ gĩc AKC bằng 120o bằng với gĩc AKB nên hai tam giác AKB và AKI bằng nhau 
 (g-c-g) cho ta AB = AI . Suy ra tam giác AIB cân tại A . 
 Vì gĩc BAI bằng 40o nên suy ra gĩc AIB bằng 70o.
.	HẾT