Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Lai Châu năm 2014 môn thi: Toán lớp 9 cấp thcs

 Đỗ Văn Lõm - Trường THCS TT Tõn Uyờn 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
LAI CHÂU 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
KHểA NGÀY: 23/4/2014 
Mụn thi: Toỏn lớp 9 Cấp THCS 
Ngày thi: 23/4/2014 
Thời gian làm bài: 150 phỳt(khụng kể thời gian chộp ủề) 
Cõu 1. (4,0 ủiểm) 
 a) Tớnh B = 4
4 4
4 4
172 6 777
7 1 34317 7 7
7 7
−
− − + +
 
− + 
 
 b) Chứng minh biểu thức A = 75(41975 + 41974 + ... + 42 + 5) + 25 chia hết 41976 
Cõu 2. (4,0 ủiểm) 
 a) Chứng minh tổng sau là một số chỡnh phương: B = 
 

2n n
11...1 44...4 1+ + 
 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A = x + 2 1x
x
+ (x > 0). 
Cõu 3. (3,0 ủiểm) 
 Giải hệ phương trỡnh: 
2 2x 4y 5
4xy x 2y 7
 + =

+ + =
Cõu 4. (3,0 ủiểm) 
 Cho a , b, c với a > c, b > c > 0. 
 Chứng minh rằng: c(a c) c(b c) ab− + − ≤ 
Bài 5. (6,0 ủiểm) 
 Cho tam giỏc ABC, M là một ủiểm trờn cạnh BC. Vẽ ủường trũn (O1) ủi qua 
M và tiếp xỳc với AB tại B, ủường trũn (O2) ủi qua M và tiếp xỳc với AC tại C, 
chỳng cắt nhau tại N (N khỏc M). 
 a) Chứng minh N thuộc ủường trũn ngoại tiếp ∆ABC. 
 b) Gọi I là giao ủiểm của AN và BC, ủường thẳng qua I song song với AC cắt 
NC tại E. Chứng minh EM là tiếp tuyến của ủường trũn (O1). 
 c) Chứng minh ủường thẳng MN luụn ủi qua một ủiểm cố ủịnh khi M di 
chuyển trờn BC. 
 d) Chứng minh rằng nếu ∆ABC cõn ở A thỡ tớch AM.AN khụng ủổi. 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
(Đề thi gồm 01 trang) 
Hết 
 Đỗ Văn Lõm - Trường THCS TT Tõn Uyờn 
ĐÁP ÁN 
(Đỏp ỏn chỉ mang tớnh tham khảo) 
Cõu 1 (4,0 ủiểm) 
 a) B = 4
4 4
4 4
17
2 6 777
7 1 34317 7 7
7 7
−
− − + +
 
− + 
 
 b) Chứng minh biểu thức A = 75(41975 + 41974 + ... + 42 + 5) + 25 chia hết 41976 
Bài giải 
 a) Ta cú: B =
4
4 4
17
2 67
7 1 17 7 7
7 7
−
− +
 
− + 
 
 Đặt a = 4 7 
 ⇒ B = 
2
22
2
2
1
a2 6 2 a 1 6a
1 1a a a a(a 1)
a a a
a a
− +
− + = − +
+ 
− + 
 
 = 
2 4 4
2 2 2
1 a 6 1 a 6 7 a 0
a a(a 1) a(a 1) a(a 1)
− − + −
+ = = =
+ + +
. Vậy B = 0 
 b) A = 75(41975 + 41974 + ... + 42 + 5) + 25 
 = 25[3(41975 + 41974 + + 42 + 4 + 1) + 1] 
 Xột: M = 41975 + 41974 + + 42 + 4 + 1 (nhõn hai vế với 4) 
 ⇒ 4M = 41976 + 41975 + 41974 +  + 42 + 4 (lấy vế trừ vế) 
 ⇒ 3M = 41976 - 1 ⇒ M = 
19764 1
3
−
 Vậy A = 25(3.
19764 1
3
−
 + 1) = 25.41976 19764⋮ (ủpcm) 
Cõu 2 (4,0 ủiểm) 
 a) Chứng minh tổng sau là một số chỡnh phương: B = 
 

2n n
11...1 44...4 1+ + 
 b) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của A = x + 2 1x
x
+ (x > 0). 
Bài giải 
 a) B = 

 
 
 
 
n
n n n n n n
11...111...1 4.11...1 1 11...1 . 10 11...1 4.11...1 1 + + = + + + 
 
 = 

n
11...1 .10n + 5.

n
11...1 + 1 
 Đặt a = 

n
11...1 ⇒ 9a = 

n
n
99...9 10 1= − ⇒ 10n = 9a + 1 
 ⇒ B = a.(9a + 1) + 5a + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2 = 

2
n
33...3 1 + 
 
là số chớnh phương. 
 b) Từ A = x + 2 1x
x
+ ⇒ 2
1
x
x
+ = A - x (ĐK A ≥ x > 0). 
 Khi ủú bỡnh phương hai vế ta cú: x2 + 1
x
 = A2 - 2Ax + x2 ⇒ 2Ax2 - A2x + 1 = 0 (1) 
 Phương trỡnh (1) tồn tại x khi: ∆ = A4 - 8A ≥ 0 ⇔ A(A3 - 8) ≥ 0 (chỳ ý A > 0) 
 Đỗ Văn Lõm - Trường THCS TT Tõn Uyờn 
 ⇔ A ≥ 2. Vậy Min A = 2 khi 4x2 - 4x + 1 = 0 ⇔ x = 1
2
 (T/m) 
 Kết luận: MinA = 2 khi x = 1
2
Cõu 3. (3,0 ủiểm). 
 Giải hệ phương trỡnh: 
2 2x 4y 5
4xy x 2y 7
 + =

+ + =
Bài giải 
 Ta cú: 
2 2 2 2x 4y 5 x (2y) 5
4xy x 2y 7 2.x.2y x 2y 7
 + = + =
⇔ 
+ + = + + = 
 Đặt u = x, v = 2y 
 Khi ủú ta cú hệ: 
2 2 2 2u v 5 (u v) 2uv 5 (u v) (u v) 12 0
2uv u v 7 u v 2uv 7 u v 2uv 7
  + = + − = + + + − =
⇔ ⇔  
+ + = + + = + + =  
u v 3(u v 3)(u v 4) 0
u v 4
u v 2uv 7
u v 2uv 7
 + =
+ − + + = ⇔ ⇔ + = − + + =  + + =
TH1: 
u v 3 u v 3 u 1, v 2
u v 2uv 7 uv 2 u 2, v 1
+ = + = = =  
⇔ ⇔  + + = = = =  
 - Với 
u 1 x 1 x 1
v 2 2y 2 y 1
= = =  
⇔ ⇔  
= = =  
 - Với 
u 2 x 2 x 1
v 1 2y 1 y 1/ 2
= = =  
⇔ ⇔  
= = =  
TH2: 
u v 4 u v 4
u v 2uv 7 uv 11/ 2
+ = − + = − 
⇔ 
+ + = = 
. 
 Khi ủú u, v là nghiệm của phương trỡnh X2 + 4X + 11
2
 = 0 
 ⇔ (X + 2)2 + 3
2
 = 0 (vụ nghiệm) 
 Vậy hệ cú hai nghiệm: (x, y) = {(1; 1), (1; 1
2
) 
Cõu 4. (3,0 ủiểm) 
 Cho a, b, c với a > c, b > c > 0. Chứng minh rằng: c(a c) c(b c) ab− + − ≤ 
 Bài giải 
 Trước hết ta chứng minh bất ủẳng thức: ac bd (a b)(c d)+ ≤ + + (với a, b, c, d ≥ 0) 
 Thật vậy: ac bd (a b)(c d)+ ≤ + + 
 ⇔ ac + bd + 2 abcd ≤ (a + b)(c + d) ⇔ ad + bc - 2 ac.bd ≥ 0 
 ⇔ ( )2ac bd 0− ≥ (ủỳng). Dấu "=" xỏy ra khi ad = bc 
 Vậy ac bd (a b)(c d)+ ≤ + + 
 Áp dụng bất ủẳng thức trờn ta cú: 
 c(a c) c(b c) c(a c) (b c).c (c b c)(a c c) ac=− + − − + − ≤ + − − + = 
 Dấu "=" xảy ra khi c2 = (a - c)(b - c) ⇔ c = ab
a b+
 Đỗ Văn Lõm - Trường THCS TT Tõn Uyờn 
Bài 5. (6,0 ủiểm) 
 Cho tam giỏc ABC, M là một ủiểm trờn cạnh BC. Vẽ ủường trũn (O1) ủi qua M và tiếp xỳc với 
AB tại B, ủường trũn (O2) ủi qua M và tiếp xỳc với AC tại C, chỳng cắt nhau tại N (N khỏc M). 
 a) Chứng minh N thuộc ủường trũn ngoại tiếp ∆ABC. 
 b) Gọi I là giao ủiểm của AN và BC, ủường thẳng qua I song song với AC cắt NC tại E. 
Chứng minh EM là tiếp tuyến của ủường trũn (O1). 
 c) Chứng minh ủường thẳng MN luụn ủi qua một ủiểm cố ủịnh khi M di chuyển trờn BC. 
 d) Chứng minh rằng nếu ∆ABC cõn ở A thỡ tớch AM.AN khụng ủổi. 
Bài giải 
a) Ta cú:  ABC BNM= (gúc nội tiếp cựng chắn cung BM của (O1)) 
 ACB CNM= (gúc nội tiếp cựng chắn cung CM của (O2)) 
 ⇒      0BAC BNC BAC ABC ACB 180+ = + + = 
 ⇒ ABNC là tứ giỏc nội tiếp 
b) - Trước hết ta chứng minh MNEI nội tiếp. 
Thật vậy: 
 - Vỡ AC//IE ⇒  EIC MCA= (so le trong) 
 - 
 MNC MCA= (cựng chắn MCcủa (O2) ) 
 ⇒  EIC MNC= ⇒ MNEI nội tiếp 
 ⇒  1M INE= ⇒  1M ANC= (1) 
mà ABNC nội tiếp ⇒  1B ANC= (2) 
Từ (1) và (2) ⇒  1 1M B= 
 - Nối O1 với B ⇒ ∆ O1BM cõn tại O1 
 ⇒  2 3B M= 
 - Vỡ   01 2B B 90+ = (tiếp tuyến) 
 ⇒   0 01 3 1M M 90 EMO 90+ = ⇒ = 
 ⇒ EM là tiếp tuyến của (O1) 
c) Gọi MN giao với (O) ngoại tiếp ∆ ABC tại P 
 ⇒  1BNP B= (cựng chắn cung BM của (O1) 
 mà  1B ANC= (cựng chắn cung AC của (O)) 
 ⇒  
1BNP ANC
2
= = sủAC khụng ủổi ⇒ BNP = 1
2
sủBP khụng ủổi 
 mà B cố ủinh ⇒ P cố ủịnh. 
 Vậy khi M chạy trờn BC thỡ NM luụn ủi qua ủiểm P cố ủịnh. 
d) - Trước hết ta chứng minh A, M, N thẳng hàng 
 +)  ABC BNM= (cựng chắn cung BM của (O1) 
 +) 
 
  
 ABC ACB(gt) ABC BNA
BNA ACB( AB (O))
= 
⇒ =
= cùng chắn của
 Vậy:   ABC BNM BNA= = ⇒ NM và NA trựng nhau 
 ⇒ A, M, N thẳng hàng 
 - Xột ∆ ABM và ∆ ANB cú : A chung;  B N= (c/m trờn) 
 ⇒ ∆ ABM 
 ∆ ANB (g.g) 
 ⇒ 2
AB AM AM.AN AB
AN AB
= ⇒ = (khụng ủổi) 
O2
P
1
32 1
O
O1
N
I
E
M
CB
A
O2
O
O1
N
M CB
A