Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 11 THPT (Hà Nam) năm học 2013 môn thi: Toán

 SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 THPT 
 HA NAM NĂM HỌC 2013
	 Môn thi: Toán
ĐỀ THI CHÍNH THỨC	 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1:(3.0 điểm) 
Giải phương trình: 
Câu 2:(2.0 điểm) Cho dãy số () xác định như sau: 
	Tìm .
Câu 3:(6.0 điểm) 
Cho tứ diện đều ABCD cạnh . Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Mặt phẳng qua IJ cắt các cạnh AB, AC, DC, DB lần lượt tại các điểm M, N, P, Q với AM = , AN = ().
	a) Chứng minh MN, PQ, BC đồng qui hoặc song song và MNPQ là hình thang cân.
	b) Chứng minh rằng: . Suy ra: .
	c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo và .
Câu 4:(5.0 điểm) Cho phương trình: có một nghiệm không nhỏ hơn 4. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm.
Câu 5:(4.0 điểm) Cho . Chứng minh rằng:
--------------------HẾT----------------------
 ĐÁP ÁN VÀ HƯƠNG DẪN CHẤM
Câu
Nội dung
Điểm
1
a) 
Ta có:
Đặt: 
Ta có: 
3 điểm
0,5
0,5
0,5
1
0,5
2
Ta có: 
 nên là dãy số tăng.
Giả sử () là dãy số bị chặn trên khi đó nó có giới hạn hữu hạn . 
Ta có: (vô lí)
Do đó: 
Ta có: 
2,0 điểm
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,5
3
a) Ta có: ,, , phân biệt nên song song hoặc đồng qui.
Gọi K là trung điểm BC, ta có: nên , do đó 
Các mặt phẳng (ABD), (ADC) đi qua AD cắt theo các giao tuyến lần lượt là MQ, NP nên : MQ // AD, NP // AD . Suy ra : MQ // NP hay MNPQ là hình thang.
 Ta có: là các tam giác đều, MQ // AD, NP // AD
 Nên AM = DQ, AN = DP. Suy ra : , hay MNPQ là hình thang cân.
b) Ta có: 
Vì : nên ; 
Mặt khác: 
Vậy : .
c) Ta có: 
Gọi h là chiều cao hình thang cân MNPQ, ta có:
Vậy: 
6,0 điểm
2điểm
2 điểm
2 điểm
4
Đặt liên tục trên .
Khi đó 
= 
Phương trình có nghiệm nên ta có: 
Do đó 
 = 
Vậy phương trình có nghiệm 
5.0 điểm
5
Đặt: 
Khi đó: là ba cạnh của một tam giác ABC.
Ta có: 
Tương tự ta có: 
Suy ra: 
Ta có: 
Suy ra: . 
Dấu bằng xảy ra và chỉ khi 
Lưu ý: Có thể giải bài này bằng biến đổi đại số.
4,0 điểm
0,5
0,5
1điểm
1 điểm