Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 12 THPT năm học 2007-2008 môn thi: Toán

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2007-2008
Mônthi: Toán
Thời gian làm bài : 180 phút
(Không kể thời gian phát đề)
Bài 1: ( 5 điểm)
a, Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
b, Giải phương trình :
Bài 2: ( 4điểm)
a, Chứng minh rằng: nếu phương trình bậc hai với hệ số nguyên có nghiệm hữu tỉ thì ít nhất một trong ba số a, b, c chẵn .
b, Chứng minh rằng nếu các số thực a, b, cthỏa mãn điều kiện thì phương trình có hai nghiệm bao hàm giữa 0 và 1.
Bài 3: (4 điểm)
Chứng minh rằng : với mọi số a, b, c dương , ta có bất đẳng thức:
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến và phân giác kẻ từ A theo thứ tự cắt BC tại M và N. Từ N, kẻ đường vuông góc với NA, đường này cắt AM và AB tương ứng tại E và D. Từ D, kẻ đướng vuông góc với AB, đường này cắt tia AN tại I. Chứng minh rằng IE vuông góc với BC.
Bài 5: ( 4 điểm)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thay đổi trên cung CD ( không chứa A, B). MA, MB cắt CD lần lượt tại E và F.
a, Chứng minh rằng :không đổi 
b,Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . Một đường thẳng qua I , cắt các đoạn AB, CD lần lượt tại P, Q và cắt đường tròn (O)tại R, S 
Chứng minh rằng