Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 năm học 2011 - 2012 môn: Toán
Bạn đang xem nội dung tài liệu Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 năm học 2011 - 2012 môn: Toán, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi cú 1 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Mụn : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Ngày thi :18/02/2012 Cõu 1: (2,0 điểm) Cho a – b = 3.Tớnh giỏ trị của biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a – b +1). Cõu 2: (2,0 điểm) Rỳt gọn : B = Cõu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho 6 . ( nZ ) Cõu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x) = (4m - m2 -5)x -.So sỏnh f(1-) và f(1-). Cõu 5: (1,5điểm) Cho DABC cú trung tuyến AM .Chứng minh : Cõu 6 : (1,5điểm) Tỡm số tự nhiờn a biết a + 13 và a – 76 là cỏc số chớnh phương. Cõu 7: (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi x,y ta cú : Cõu 8: (1,5điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: C = Cõu 9: (1,5điểm) Cho DABC cú nhọn nội tiếp đường trũn (O;R) .Chứng minh rằng: Cõu 10:(1,5điểm) Tỡm cỏc số nguyờn tố x,y thoả món : x2 – 2y2 = 1 Cõu 11:(1,5điểm) Cho DABC, đường thẳng d cắt AB , AC và trung tuyến AM theo thứ tự tại E ,F,N (EA,B và FA,C ).Chứng minh : . Cõu12:(1,5điểm) Cho đường trũn (O;R) và đường thẳng a ở ngoài đường trũn. Gọi OH là khoảng cỏch từ tõm O đến a và M là một điểm chuyển động trờn a. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường trũn (O) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi D là giao điểm của AB với OH. Chứng minh rằng D là điểm cố định . . . . . . . . HẾT . . . . . . . -Thớ sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh cầm tay. - Giỏm thị khụng được giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh : ...................................... Giỏm thị 1: .......................................Ký tờn................... Số Bỏo danh ........................................... Giỏm thị 2: .......................................Ký tờn................... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Mụn : TOÁN Ngày thi :18/02/2012 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC VÀ THANG ĐIỂM Cõu 1(2,0 điểm) Biết a – b = 3. Tớnh giỏ trị của biểu thức: A= a2(a+1) – b2(b – 1) +ab – 3ab(a–b+1). A = a3+ a2–b3+b2+ab–3a2b +3ab2–3ab 0,5đ = (a3–3a2b +3ab2– b3) + (a2–2ab +b2) 0,5đ = (a–b)3+(a–b)2 0,5đ = 33+32=36 0,5đ Cõu 2(2,0 điểm) B = 0,5đ = 0,5đ = 0,5đ = -1 0,5đ Cõu 3: (2,0 điểm) Chứng minh : n3 – 6n2 – 13n + 18 chia hết cho 6 . ( nZ ) A = n3 – 6n2 – 12n + 18 ⇔ A = n3 – n – 6n2 –12 n + 18 0,5đ ⇔A = n(n – 1)(n+1) – 6n2 – 12n + 18 0,5đ Do n(n – 1)(n+1) là tớch 3 số nguyờn liờn tiếp nờn n(n – 1)(n+1) ⋮ 6 0,5đ Mặt khỏc – 6n2 – 12n + 18⋮ 6 nờn A ⋮ 6 0,5đ Cõu 4: (2,0 điểm) Cho hàm số y = f(x )= (4m-m2-5)x-.So sỏnh f(1-)và f(1-). Biến đổi (4m - m2 - 5) = 0,5đ hàm số y = f(x ) nghịch biến 0,5đ Lập luận 0,5đ 0,5đ Cõu 5 : (1,5điểm) Cho tam giỏc ABC cú trung tuyến AM .Chứng minh : Vẽ AHBC ,HBC c/m được AB2+AC2 = 2AH2+ BH2+ CH2 (1) 0,5đ c/m được AH2 = AM2 - HM2 BH2 = BM2 -2BM. HM+HM2 CH2 = HM2 -2HM. CM+CM2 (2) 0,5đ Từ (1),(2) 0,5đ Cõu 6: (1,5điểm) Tỡm số tự nhiờn a biết a + 13 và a – 76 là cỏc số chớnh phương. Vỡ a + 13 và a – 76 là cỏc số chớnh phương Đặt a + 13 = , a – 76 = với m, n N. 0,25đ m2 – n2 = 89 (m – n)(m + n) = 89 0,25đ Vỡ 89 là số nguyờn tố và m – n < m + n nờn 0,75đ a +13 = 452 a = 2012 0,25đ Cõu 7 : (1,5điểm) Chứng minh rằng với mọi x,y ta cú : (1) (1) x(x3- y3) – y(x3- y3) 0 0,5đ (x-y)2(x2 + xy + y2) 0 0,25đ (x-y)2 (2) 0,25đ (2) luụn đỳng (1) đỳng 0,25đ Dấu “ =” xày ra khi x = y 0,25đ Cõu 8: (1,5điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: C = C= 0,25đ Đặt t = |2x- 3| 0 C = t2 – 2t + 6 0,5đ C = (t –1)2 + 5 5 0,25đ giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức C là 5 khi t = 1x = 2 hoặc x = 1 0,5đ Cõu 9: (1,5điểm) Cho tam giỏc ABC cú nhọn nội tiếp đường trũn (O;R) .Chứng minh rằng: Vẽ đường kớnh BD DBCD vuụng tại C 0,5đ BC = BD.sinD (1) 0,25đ Ta cú , BD = 2R (2) 0,5đ Từ (1) và (2) BC = 2R.sinA 0,25đ Cõu 10: (1,5điểm) Tỡm cỏc số nguyờn tố x,y thoả món : x2 – 2y2 = 1 x2 – 2y2 = 1 (x-1)(x+1) = 2y2 0,5đ Vỡ y nguyờn tố và x+1 > x-1 nờn chỉ xảy ra cỏc trường hợp: 0,25đ 2) (loại) 0,25đ 3) 0,25đ Vậy (x;y) = (3;2) 0,25đ Cõu 11: Cho DABC, đường thẳng d cắt AB và AC và trung tuyến AM theo thứ tự là E , F , N . (EA,B và FA,C )Chứng minh : Kẻ 0,25đ Ta có: 0,25đ 0,25đ c/m (cgc) 0,25đ 0,25đ Thay vào (*) ta được (đpcm) 0,25đ Cõu 12: Cho đường trũn (O;R) và đường thẳng a ở ngoài đường trũn. Gọi OH là khoảng cỏch từ tõm O đến a và M là một điểm chuyển động trờn a. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB với đường trũn (O) ( A,B là hai tiếp điểm). Gọi D là giao điểm của AB và OH. Chứng minh rằng D là điểm cố định Gọi C là giao điểm của AB và OM Chứng minh được OC.OM = OD.OH 0,5đ Lập luận OC.OM = OA2= R2 0,25đ OD.OH = R2 0,5đ 0,25đ Chứng minh được : khụng đổi 0,25đ D thuộc đoạn thẳng cố định OH nờn D cố định 0,25đ . . . . . . . HẾT . . . . . . . Ghi chỳ: Nếu học sinh giải đỳng bằng cỏch khỏc thỡ giỏm khảo căn cứ biểu điểm để cho điểm tương ứng.
File đính kèm:
ĐỀ + Đ ÁN HSG TỈNH (11-12).doc
