Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS - Năm học 2010 - 2011 môn thi: Toán - Đề 1

 MA TRẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI-CẤP TỈNH
Môn : Toán 9
Năm học: 2010 - 2011
 Chủ đề
MỨC ĐỘ
Tổng
Thông hiểu
	Vận dụng thấp 
Vận dụng cao
Số học
C1b
2 
C2a
2
2
4
Đại số 
C2b
2 
C1a c3,c4a
 6.5
C4b
1.5
5
10
Hình học
C5a,b
 4
C5c
2
3
6
 Tổng
2
4
5
10.5
3
 5.5
10
20
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
ĐỀ ĐỀ XUẤT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 4 điểm)
a.Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức 
b.Chứng minh rằng với n là số tự nhiên ta luôn có :
Câu 2 ( 4 điểm)
Tìm hai chữ số tận cùng của 22010
b. Giải bất phương trình sau: 
Câu 3 ( 3 điểm)) Cho biểu thức A = 
 với .
a, Rút gọn biểu thức A.
b, Tìm giá trị của để A< 1.
c, Tìm giá trị nguyên của để A có giá trị là một số nguyên.
Câu 4 ( 3 điểm) Cho hệ phương trình
a. Giải hệ phương trình khi .
b. Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn .
Câu 5: ( 6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m = AB.
b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh: .
Họ và tên thí sinh:........................................................Số báo danh...........................
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN 
Câu
Đáp án
Thang điểm
1
(4 đ )
a. Theo đẳng thức Cô si ta có 
Suy ra 
Tương tự , 
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta được:
0.25
0.25
0.5
1
b. Vì n2 + (n+1)2 = 2n2 + 2n +1 > 2n2 + 2n 
Nên 
Hay 
Do đó ta có : 
... 
Cộng các vế tương ứng ta được
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.75
2
(4 đ )
a. Tìm hai chữ số tận cùng của 22010 là tìm dư của phép chia 22010 cho 100. 
Trước hết ta xét số dư của phép chia 22010 cho 25. 
Luỹ thừa của 2 sát với một bội của 25 là 210 = 1024 = 25a-1 a là số nguyên.
Ta có 22010 = (210)201 = (25a-1)201 = 25b+ 1 b là số nguyên .
Do đó 22010 chia 25 dư 1 hoặc dư 26, có số tận cùng là 01, hoặc 26, hoặc 51 hoặc 76. 
Số 22010 chia hết cho 4 nên không thể có tận cùng là 01, 26, 51 
Vậy 22010 có số tận cùng là 76.
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
b.Với điều kiện xác định của x, biến đổi bất phương trình ta được :
Lập bảng xét dấu 
x
2x+1
 - - o +
3x+2
 - 0 + +
 + - 0 +
Vậy nghiệm của bất phương trình là 
1
0.75
0.25
3
(3 đ )
a. Với a và a 4 ; a 9 thì 
 A = 
0.25
 =
0.25
 = = 
0.25
 =
0.25
b. Với a và a 4 ; a 9 thì 
 A < 1 < 1 < 0
 a < 9
0.5
0.25
 Kết hợp với điều kiện ta có và a 4
0.25
c. Ta có A = Với a nguyên, a và a 4 ; a 9 thì A có giá trị nguyên khi và chỉ khi là ước của 4
0.5
Do đó nhận các giá trị ; 
Từ đó a nhận giá trị : 1; 4; 16; 25; 49
Vì a 4 nên a nhận các giá trị 1; 16; 25; 49
0.5
4
(3 đ )
a.Thay a = vào hệ phương trình được:
0.25
0.5
Tìm được ;
0.5
b.Từ x – y = 1 y = x – 1 thay vào hệ PT được 
0.5
 a2 + a - 6 = 0
0.5
(a – 2)(a + 3) = 0
0.5
Tìm được a = -3; a = 2
0.25
5
(6 đ )
Vẽ hình ghi GT , KL đúng 
a) Hai tam giác ADC và BEC có: 
 Góc C chung. 
 (Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng)
 Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c). 
Suy ra: (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên do đó tam giác ABE vuông cân tại A. 
Suy ra: 
0.5
0.5
0.5
0.5
b) Ta có: (do )
mà (tam giác AHD vuông vân tại H)
nên (do )
Do đó (c.g.c), suy ra: 
0.5
0.5
0.5
0.5
c) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
 Suy ra:, 
mà 
Do đó: 
0.5
0.5
0.5
0.5