Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS - Năm học 2010 - 2011 môn thi: Toán - Đề 10

PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4 điểm). 
1) Cho a, b, c là số hữu tỷ.
	Chứng minh rằng là một số hữu tỷ.
	2) Rút gọn: 
 S = 
Câu 2 (4 điểm).
1) Tìm số dư của phép chia 
	S = 1n + 2n + 3n + 4n cho 4
	2) Tìm số nguyên n để cho n + 4 chia hết cho n – 1
Câu 3 (4 điểm). Giải hệ phương trình :
Câu 4 (2 điểm). Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh). Chứng minh rằng:
Dấu bằng trong đẳng thức trên xảy ra lúc tam giác ABC có đặc điểm gì? 
Câu 5 (6 điểm). Cho hình vuông ABCD cạnh là 3. lấy điểm M trên cạnh BC. Đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại P. Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài tại Q. BP cắt CQ tại I.
Cho CM = 1. Tính BI, CI ?
Khi M di động trên đoạn BC, tìm quỹ tích điểm I.
Hết. 
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Câu 1 (4 điểm). 
1). Cho a, b, c là số hữu tỷ.
	Chứng minh rằng là một số hữu tỷ.
ĐÁP ÁN
2 ĐIỂM
Đặt x = a – b, y = b – c, z = c – a x + y + z = 0
0,5
Ta có: = - 
0,5
 = - = 
0,5
Vậy : là một số hữu tỷ.
0,5
2) Rút gọn: 
 S = 
ĐÁP ÁN
2 ĐIỂM
Xét k N, k 1
Ta có : 
0,5
Cho k = 1, 2, 3,  , 1999, 2000, ta có:
 ...
1
 P = 
0,5
Câu 2 (4 điểm).
1) Tìm số dư của phép chia 
	S = 1n + 2n + 3n + 4n cho 4 
ĐÁP ÁN
2 ĐIỂM
* Nếu n lẻ, n = 2k + 1, k N, ta có: 
 4n 4
 1n + 3n = 4 (3n-1 – 3n-2 +  - 1) 4
 2n = 2.4k
 + Với k = 0 Sn = 4p +2
 + Với k > 0 Sn = 4q
1
* Nếu n chẵn, n = 2k , k N, ta có: 
 4n 4
 2n 4
 3n = 9k = (2.4 + 1)k = 4t + 1
 1n = 1
 Sn = 4h +2
 Vậy: Khi chia S = 1n + 2n + 3n + 4n cho 4 , hoặc ta có dư bằng 0, hoặc có dư bằng 2 
1
 	2) Tìm số nguyên n để cho n + 4 chia hết cho n - 1
ĐÁP ÁN
2 ĐIỂM
Ta có , do đó muốn n + 4 chia hết cho n – 1 thì Z
 n – 1 
0,5
Khi n – 1 = - 1 n = 0 ; thỏa mãn
Khi n – 1 = 1 n = 2; thỏa mãn 
Khi n – 1 = -5 n = - 4 ; thỏa mãn
Khi n – 1 = 5 n = 6 ; thỏa mãn
1
Vậy với n = 0; 2; -4; 6 thì (n + 4) (n - 1)
0,5
Câu 3 (4 điểm). Giải hệ phương trình :
ĐÁP ÁN
4 ĐIỂM
Từ x + y + z = 9 81 = (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx)
1
 81 = x2 + y2 + z2 + 2.27 x2 + y2 + z2 = 27
1
 x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2x2 + 2y2 + 2z2 = 2xy + 2yz + 2zx 
(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2 = 0 x = y = z
1
Do đó: 
1
Câu 4 (2 điểm). Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh). Chứng minh rằng:
Dấu bằng trong đẳng thức trên xảy ra lúc tam giác ABC có đặc điểm gì? 
ĐÁP ÁN
2 ĐIỂM
Ta có: p – a = > 0
Tương tự: p – b > 0, p – c > 0 
0,5
 áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 
 (p – a) + (p – b) 2 
0,5
Tương tự 
Cộng từng vế ta có: 
0,5
Ta có: 
Dấu “=” xảy ra a = b = c là tam giác đều.
0,5
Câu 5 (6 điểm). Cho hình vuông ABCD cạnh là 3. lấy điểm M trên cạnh BC. Đường thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại P. Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài tại Q. BP cắt CQ tại I.
1).Cho CM = 1. Tính BI, CI ?
2). Khi M di động trên đoạn BC, tìm quỹ tích điểm I.
ĐÁP ÁN
6 ĐIỂM
0,5
Ta có: CM = 1 BM = 2
 ~ (g . g) 
0,5
 ~ (g . g) 
0,5
Xét và có: = = 900, 
0,5
 ~ (c . g . c) , 
0,5
Mà 
0,5
 vuông tại I
0,5
 ~ (g.g) 
0,5
Do đó: và 
0,5
Trong trương hợp tổng quát, đặt CM = x BM = 3 – x
0,5
 Tương tự cách chứng minh trên (ý 1), ta có vuông tại I
 I thuộc đường tròn đường kính BC
1