Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS - Năm học 2010 - 2011 môn thi: Toán - Đề 12

PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
I. THIẾT LẬP MA TRẬN:
Mức độ
Chủ đề
Thông hiểu
Vận dụng thấp
Vận dụng cao
Tổng
Số học
C3(2)
2
C3(1)
2
1	
 4
Đại số
C1(1)
2
C4	
2
C2; C1(2)
4
4
10
Hình học
C5(1,2)
3
C5(3,4)
3
4
6
Tổng
2
4
2
5
5
11
9
20
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 4 điểm).
1) Rút gọn biểu thức: 
	A = 
2) Cho A = 
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A. 
Câu 2 (4 điểm). Giải hệ phương trình
Câu 3 (4 điểm). 
1) Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, x Z có các hệ số nguyên. 
Chứng minh rằng nếu p(x) chia hết cho 5 với mọi trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5. 
2). Tìm số b nguyên tố sao cho b + 6, b + 14, b + 12 và b + 8 đều là số nguyên tố 
Câu 4 (2 điểm) Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 + 32 = 10ab. Tính giá trị của biểu thức:
	P = 
Câu 5 (6 điểm). Từ một điểm S nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC tới đường tròn sao cho góc BAC nhỏ hơn 900. Tia phân giác của góc BAC dây BC tại D và cắt đường tròn tâm O tại E. Các tiếp tuyến của của đường tròn O tại C và E cắt nhau tại điểm N. Gọi Q và P theo thứ tự là giao điểm của từng cặp đường thẳng AB và CE, AE và CN.
1). Chứng minh: SA = SD
2). Chứng minh EN và BC song song với nhau.
3). So sánh tam giác QCB và tam giác PCE.
4). Chứng minh hệ thức 
.HẾT.
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Câu 1 ( 4 điểm). 
1). Rút gọn biểu thức: 
	A = 
ĐÁP ÁN
2 ĐIỂM
Với tử số. Đặt a = x3, ta nhận được 
 TS = 
0,5
= = 
0,25
Với mẫu số. Đặt b = x2, ta nhận được:
 MS	= 
 = 
0,5
 = = 
0,25
Suy ra: A = : = . = 
0,5
2) Cho A = 
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức A. 
ĐÁP ÁN
2 ĐIỂM
a) A có nghĩa khi 
0,5
b) A = .
 = 
0,5
A = 
0,5
Nếu 1 < x < 2 thì A = 
Nếu x > 2 thì A = 
0,5
Câu 2 (4 điểm). Giải hệ phương trình	
ĐÁP ÁN
4 ĐIỂM
Đặt = u 
0,5
Phương trình (1) trở thành u2 + u -12 = 0 (u - 3)(u + 4) = 0 
1
 ; (u = - 4 không thỏa mãn điều kiện vì u )
0,5
Do đó: = 3 
 0,5
Từ (2), ta có: 
0,5
Vậy: 
1
Câu 3 (4 điểm). 
1) Cho đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, x Z có các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu p(x) chia hết cho 5 với mọi trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5. 
ĐÁP ÁN
2 ĐIỂM
Xem đa thức p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, x Z có các hệ a, b, c, d nguyên. 
 Theo đề bài, ta có 
 P(x) 5, x Z
 Suy ra: 
0,5
0,5
Từ (1) và (2) 2b 5, (2, 5) = 1 b 5
0,5
Do đó ta có:
Từ (4) và (5) 3a 5, (3, 5) = 1 a 
 c 
Vậy: Nếu P(x) x Z thì: a, b, c, d 
0,5
2). Tìm số b nguyên tố sao cho b + 6, b + 14, b + 12 và b + 8 đều là số nguyên tố 
ĐÁP ÁN
2 ĐIỂM
Bất kì số tự nhiên b nào cũng có một trong các dạng :
5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4, với k N
0,5
Nếu b = 5k + 1 thì b + 14 = 5k + 1 + 14 = 5k + 15 , không nguyên tố
Nếu b = 5k + 2 thì b + 8 = 5k + 2 + 8 = 5k + 10 , không nguyên tố
Nếu b = 5k + 3 thì b + 12 = 5k + 15 , không nguyên tố
Nếu b = 5k + 4 thì b + 6 = 5k + 10 , không nguyên tố
Do đó b = 5k mà b nguyên tố nên b = 5
1
Ta suy ra: b + 6 = 11
 b + 8 = 13
 b + 12 = 17
 b + 14 = 19, đều là số nguyên tố
0,5
Câu 4 (2 điểm) Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 + 32 = 10ab. Tính giá trị của biểu thức:
	P = 
ĐÁP ÁN
2 ĐIỂM
Xét: P2 = 
 = 
0,5
0,5
= 
0,5
Mà: P > 0 P = (Vì a > b > 0)
0,5
Câu 5 (6 điểm). 
GT
S (O); tiếp tuyến SA, cát tuyến SBC, (B, C (O)); < 900; AD BC = AD(O) = 
; tiếp tuyến tại C và E cắt nhau tại N;
AB CE = ; AE CN = 
0,5
KL
SA = SB
EN // BC
So sánh QCB và PCE
Chứng minh:
ĐÁP ÁN
5,5 ĐIỂM
a). Tia AE là phân giác góc BAC, nên 
sđ (); sđ (), mà (gt), nên 
 = cân tại S SA = SD
0,5
0,5
0,5
b). cân tại N vì có NC = NE. Do đó, 
Nhưng = = . Vậy EN // BC
0,5
0,5
c) Ta có: sđ () : 2; sđ (): 2. 
Vì AE là phân giác góc A ~ (g.g)
0,5
0,5
Do EN // BC, nên theo định lí Ta-let đối với tam giác PCD
Ta có: 
Vì EN = NC, 
Chia hai vế cho NC, ta được: 
0,5
0,5
1