Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS - Năm học 2010 - 2011 môn thi: Toán - Đề 2

 MA TRẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI-CẤP HUYỆN
Môn : Toán 9
Năm học: 2010 - 2011
 Chủ đề
MỨC ĐỘ
Tổng
Thông hiểu
	Vận dụng thấp 
Vận dụng cao
Số học
C3a,b
 4
C1
3
3
 7
Đại số 
C2
 3
C4
4
2
7
Hình học
C6a
2
C6b,c
 4
3
6
 Tổng
1
2
5
11
2
 7
8
20
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
ĐỀ ĐỀ XUẤT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (3 điểm)
Chứng minh rằng 
 2n chữ số n chữ số 
là một số chính phương.
Câu 2: (3 điểm)Cho biểu thức: M = 
 	a.Tìm điều kiện của x để M có nghĩa.
 	b.Rút gọn M.
Câu 3 (4 điểm)
a. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, giá trị biểu thức
không thể là một số tự nhiên.
b. Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Câu 4 (4 điểm).	
a.Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn abc = 1. 
Chứng minh rằng .
	Đẳng thức xảy ra khi nào?
b.Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = với 0 < x < 2
Câu6: (3 điểm) Cho đường tròn (O, 15cm) dây BC = 24cm. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau tại A gọi H là giao điểm của OA và BC.
a, Chứng minh rằng HB=HC.
b,Tính độ dài OH. 
c, Tính dộ dài OA.
Họ và tên thí sinh:........................................................Số báo danh...........................
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Câu
Đáp án
Thang điểm
1
(3đ)
Đặt 
 n chữ số
Ta có = k.10n + k -2k 
 2n chữ số n chữ số 
 = k(10n-1) = k.9k = (3k)2 = (33...3)2
 n chữ số 
Vậy 
 2n chữ số n chữ số 
 là một số chính phương
1
1
0.75
0.25
2
(4đ)
a) M có nghĩa khi: 
 1 2 
1.25
0.75
b) M 
 - Với 1 2, ta có: M 
0,5
0.75
0.75
3
(4đ)
a. Ta có M = 
 =
Giả sử M là số tự nhiên với mọi số tự nhiên n. Suy ra:
 (4n–1) (3n–1), "n
Þ (12n –3) (3n – 1), "n
Mặt khác: (12n – 4) (3n – 1 ) , "n
Suy ra: [(12n –3) - (12n – 4)] (3n -1),"n
Hay 1 (3n – 1) , "n (vô lý)
Vậy M không thể là số tự nhiên (đpcm)
0.5
0.5
0.5
0.5
b. Phương trình đã cho tương đương với:
 (*)
Pt (*) có nghiệm nguyên khi:
 yÎZ, 8 – 2y2 ≥ 0
 Þ yÎZ và 
 Þ y Î { 0, - 1, 1, -2, 2 }
+ Với y = 0, ta có: ( x + y – 9 )2 = 8 ( loại )
+ Với y = ± 1, ta có: ( x + y – 9 )2 = 6 ( loại )
+ Với y = ± 2, ta có: ( x + y – 9 )2 = 0
 - Nếu y = 2 thì x = 7 (thỏa mãn)
 - Nếu y = -2 thì x = 11 (thỏa mãn)
Vậy nghiệm nguyên (x; y) cần tìm:
 ( 7; 2) , (11; - 2) 
0.5
0.5
0.5
0.5
4
(3đ)
a. Ta có: a2 – ab + b2 ≥ ab, "a, b ≥ 0
Þ (a+b)( a2 – ab + b2) ≥ ab(a+b), "a, b ≥ 0
Þ a3+b3+1 ≥ ab(a+b+c), "a, b, c ≥ 0 (vì abc = 1)
Þ , "a, b, c ≥ 0 (vì abc = 1)
Þ (1)
+ Tương tự, ta chứng minh được:
 (2)
 và (3)
+ Cộng vế theo vế (1), (2) và (3):
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =1
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
b. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski: 
 ( a2 + b2 ) (x2 + y2 ) (ax +by )2
Ta có:
2A = 
=> 2A 
Suy ra: min 2A = 
 Vì 0 < x < 2
Vậy min A = 
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
5
(6đ)
Vẽ hình, ghi Gt,kl : 
a. Tam giác OBC cân tại O có OH là đường phân giác của nên HB= HC . 
b. OH = = 
c. Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam tam giác OBA ta có OB2 = OH.OA => OA = 
1
1
2
2