Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS - Năm học 2010 - 2011 môn thi: Toán - Đề 3

MA TRẬN
 Mức độ
 Chủ đề
Thông hiểu
Vận dụng thấp
Vận dụng cao
Tổng
KQ
TL
KQ
TL
KQ
TL
Số học
C4 a
3
C4b
2
2
5
Đại số
C1a
2
C3b, C1b
6,5
C2, C3a
2,5
4
11
Hình học
C5a
2
C5b
2
2
4
Tổng
2
 4
3
7,5
3
8,5
5
 20
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4,0 điểm)
Cho biểu thức: 
a, Tìm x để A có nghĩa; Rút gọn biểu thức A .
b, Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận các giá trị nguyên.
Câu 2: (2,5điểm). Cho 3 số x, y, z thoả mãn: 
.
 Tính giá trị biểu thức 
Câu 3: (4,5 điểm)
a, Cho bốn số thực bất kỳ . Chứng minh:
Dấu bằng xảy ra khi nào ?
b, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1)
 Cho biết 
C âu 4(5điểm)
a, Chứng minh rằng: , với mọi n chẵn và n > 4
b, Cho 3 số : A = 44..44 ; B = 22..22 ; C = 88..88
 2n chữ số 4 (n + 1) chữ số 2 n chữ số 8
 Chứng minh rằng: A + B + C + 7 là 1 số chính phương
Câu 5: (4điểm):
	Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O). Vẽ hình bình hành 
 ABCD, tiếp tuyến tại C của (O) cắt AD tại N
 a, Chứng minh AD là tiếp tuyến của (O) 
 b, Chứng minh AC, BD, ON đồng quy.
..Hết
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(4)
a) Để A có nghĩa, trước hết . Đặt 
 Để biểu thức A có nghĩa thì: (*)
Khi đó, rút gọn ta được:
 Thay . Vậy 
b) 
Để A là nguyên thì x nguyên và 
Nếu ( Loại vì trái với điều kiện (*)).
. Nếu (Loại)
. Nếu và 
. Nếu và 
Vậy : Để A nhận các giá trị nguyên thì thì và .
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu2
(2,5đ)
Vì x2, y2, z2 > 0, nên từ (2) Þ x2, y2, z2 < 1 Þ -1 < x, y, z < 1 
Þ Þ x3+y3+z3 < x2+y2+z2 = 1. 
Nhưng do (3) Þ Þ x, y, z chỉ có thể là 0 hoặc 1
Þ x2010=x, y2011=y, z2012=z Þ x2010+y2011+z2012=x+y+z=1 
=> 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu3
(4,5đ)
a)Ta có: 
Đúng với 4 số thực a, b, c, d bất kỳ.
Vậy: 
Dấu đẳng thức xảy ra khi hay 
= >Min A = 45 khi xy = 2 và 
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu4
(5đ)
Ta thấy 384 = 3. 128, với (3, 128 ) = 1
Vì n chẵn và n > 4 và k > 2
A = 
A = 16k(k3 -2k2 – k + 2)
 = 16k (k - 2)(k - 1)(k + 1)
Mà k , (k - 2) , (k - 1) , (k + 1) là 4 số nguyên liên tiếp nên ắt có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 4
 (k - 2)(k - 1)k(k + 1) 8
A 128
Mặt khác: trong 3 số nguyên liên tiếp, có 1 số chia hết cho 3
(k - 1)k(k + 1) 3
A 3, với (3, 128 ) = 1A 384
Vậy: , với mọi n chẵn và n > 4
Vậy A + B + C + 7 là số chính phương
0,25
 0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0.25
0.25
0.25
0.25
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 5
(4đ)
 DABC (AB = AC) nội tiếp (O)
GT Vẽ hình bình hành ABCD.Tiếp
 tuyến tại C của (O) cắt AD tại N
KL 1. AD là tiếp tuyến của (O)
 2. AC, BD, ON đồng quy 
Chứng minh:
a, Chứng minh AD là tiếp tuyến của (O)
Ta có: AB = AC (giả thiết) và OB = OC (bán kính (O))
Þ OA là trung trực của BC Þ OA ^ BC
Mặt khác AD//BC (Cạnh đối của hình bình hành)Þ OA ^ AD
Vậy AD vuông góc với bán kính OA của (O) tại A. Do đó AD là tiếp tuyến của (O)
 b, Chứng minh AC, BD, ON đồng quy 
Ta có: NA = NC và (Tính chất của tiếp tuyến)
Þ DNAC cân tại N và NO là đường phân giác góc N
Do đó NO đồng thời là trung tuyến nên NO qua trung điểm M của AC
Mặt khác ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Tức là AC và BD cắt nhau tại M.
Vậy 3 đường thẳng AC, BD, ON đồng quy
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5