Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS - Năm học 2010 - 2011 môn thi: Toán - Đề 4

MA TRẬN
 Mức độ
Chủ đề
Thông hiểu
Vận dụng thấp
Vận dụng cao
Tổng
TNKQ
TNTL
TNKQ
TNTL
TNKQ
TNTL
Số học
C2
4
1
4
Hình học
C5ab
3.5
C5c
1.5
3
5
Đại số
C4
4
C3
3
C1
4
3
11
Tổng
1
4
3
6.5
3
9.5
7
20
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4điểm)
Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	P = x - 
Câu 2: (4 điểm)
Cho hai số a, b thỏa mãn a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng:
(a + b)2 ≤ 4.
Câu 3: (3điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Câu 4: (4điểm)	 
Chứng minh đẳng thức:
 với a > 0, b > 0 và 
Câu 5: (5điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E.
Chứng minh rằng: DOE là tam giác vuông.
Chứng minh rằng: .
Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích của tứ giác ADEB nhỏ nhất.
 	Hết
Họ và tên thí sinh:........................................................Số báo danh...........................
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Câu
Nội dung
Điểm
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
2
Ta có: 	
a3 + b3 > 0 Þ a3 > –b3 Þ a > – b Þ a + b > 0	 (1)
(a – b)2(a + b) ≥ 0 Þ (a2 – b2)(a – b) ≥ 0 Þ a3 + b3 – ab(a + b) ≥ 0
Þ 	a3 + b3 ≥ ab(a + b) Þ 3(a3 + b3) ≥ 3ab(a + b) 
Þ 	4(a3 + b3) ≥ (a + b)3 Þ 8 ≥ (a + b)3 Þ a + b ≤ 2 (2)
Từ (1) và (2) Þ 0 < a + b ≤ 2.
=> (a + b)2 ≤ 4. (đpcm)
0.5
1
1
1
0.25
0.25
3
+ Phương trình đã cho tương đương với:
 (*)
+ Pt (*) có nghiệm nguyên khi (8 – 2y2 ) ≥ 0 và (8 – 2y2 ) là số chính phương
 yÎZ và Þ y Î { 0, - 1, 1, -2, 2 }
 Mà (8 – 2y2 ) phải là số chính phương nên y Î{-2,2}
 - Với y = -2 => x = 11
 - Với y = 2 => x = 7
Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (11,-2) và (7,2)
1
1
1
4
Chứng minh đẳng thức: với a > 0, b > 0 và 
VT = = 
2
2
5
Ýa, 
+ Hình vẽ đúng (câu a):
+ Theo giả thiết: DA và DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D, nên OD là tia phân giác góc AOM. Tương tự: OE là tia phân giác góc MOB.
+ Mà và là hai góc kề bù, nên . Vậy tam giác DOE vuông tại O.
Ý b)
+ Tam giác DOE vuông tại O và nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: (1)
+ Mà DM = DA và EM = EB (định lí về 2 tiếp tuyến cắt nhau) (2).
+ Từ (1) và (2) ta có: 
Ý c) 
+ Tứ giác ADEB là hình thang vuông, nên diện tích của nó là:
+ S nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất. Mà DE là đường xiên hay đường vuông góc kẻ từ D đến By, nên DE nhỏ nhất khi DE = DH (DH vuông góc với By tại H).
 Khi đó DE song song với AB nên M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O) (hoặc OM AB). Giá trị nhỏ nhất của diện tích đó là: 
Ghi chú: Nếu học sinh không tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích vẫn cho điểm tối đa.
0.5
1
0.5
0.5
0.5
0.5
1
0.5