Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS - Năm học 2010 - 2011 môn thi: Toán - Đề 6

MA TRẬN
 Mức độ
 Chủ đề
Thông hiểu
Vận dụng thấp
Vận dụng cao
Tổng
KQ
TL
KQ
TL
KQ
TL
Số học
C4b
1,5
C4a
2,5
2
4
Đại số
C1C1a;C3a
2
C1b,C1c C3b, C2
7
C3c
3
7
12
Hình học
C5
4
1
4
Tổng
3
3,5
4
7
3
9,5
10
20
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TO ÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1(4 điểm)
Cho biểu thức
a, Tìm điều kiện để A có nghĩa
b, Rút gọn A
c, Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là 1 số nguyên
Câu 2(2điểm)
Cho:
Chứng minh rằng: x + y2+ z3 = 1
Câu 3 (6 điểm)
a, Chứng minh rằng với x > 1 ta có: 
b, cho a > 1, b > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E = 
c, Cho a, b là các số thực dương, chứng minh rằng: 
Câu 4 (4 điểm) 
a, Chứng minh rằng chữ số tận cùng của các số tự nhiên n và n5 là như nhau
b,Chứng minh: 2n + 1 v à nguyên tố cùng nhau
Câu 5(4 điểm) Cho tam giác đều ABC có cạnh 60 cm. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = 20cm. Đường trung trực của AD cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở E, F. Tính độ dài các cạnh của tam giác DEF./.
 ..HẾT.
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(4điểm)
a, Điều kiện để biểu thức A xác định:
b, 
 = 
 = 
c, 
 Với , để thì phải là ước của 4, từ đó suy ra 
, nhưng 
1
0,5
0,5
1
0,5
0,5
Câu 2
(2điểm)
Từ x + y + z = 1 
Thay: 
.Nếu x + y = 0 
.Nếu y + z = 0 
.Nếu z + x = 0 
Từ (1),(2), và (3) suy ra: 
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 3
(6điểm)
a, Ta có: x = (x - 1) + 1 
Dấu = xảy ra 
b, Áp dụng ý a: E = 
Vì 
c, Ta có : a , b > 0 
 a , b > 0
 (1) 
 Mặt khác: (2) 
Nhân từng vế của (1) và (2) ta có : 
 (ĐCCM)
0,75
0,25
1
1
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu 4
(4điểm)
a, Chứng minh rằng chữ số tận cùng của các số tự nhiên n và n5 là như nhau
Xét số: A = n5 – n = n(n2 -1)(n2 +1) = n(n + 1)(n - 1)(n2 +1)
Ta thấy n(n + 1)2, 
Ta cần chứng minh: A 5, 
- Nếu n = 5k 
- Nếu n = 5k + 1 n – 1 = 5k A 5
- Nếu n = 5k + 2 n 2 = 25k2 + 20k + 4 n 2 +1 5
- Nếu n = 5k + 3 n 2 = 25k2 + 30k + 9 n 2 +1 5
- Nếu n = 5k + 4 n 2 +1 5
Do đó: A 5 , 
Vì A 2 và A 5, mà (2 ,5 ) = 1, nên A 10
 n và n5 có cùng chữ số hàng đơn vị
b,Chứng minh: 2n + 1 v à nguyên tố cùng nhau
Ta thấy: n(n+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp
 2n +1 là tổng của 2 số đó
Mà 2 số tự nhiên liên tiếp nguyên tố cùng nhau nên tổng và tích của chúng cũng nguyên tố cùng nhau:
(n,n+1) = 1(2n + 1,n(n + 1)) = 1
Do đó ta có: 2n + 1 v à nguyên tố cùng nhau
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
Câu 5
(4điểm)
B
D
C
K
F
E
A
I
20
40
y
y
x
x
H
G
GT
: 
AB = AC = BC = 60cm, 
BD = 20 cm
KL
DE = ?, DF = ?, EF = ?
Đặt DE = AE =x, DF = AE = y. Kẻ DI ^AB, DK ^AC.
+ Ta có: BI = BD.cos600 = 20.= 10 ; 
DI 
 Ta có : EI = 50 – x, áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông DEI ta có :
 ED2 = EI2 + ID2 = (50 – x)2 + ( )2 
Û x2 = 2500 – 100x + x2 + 300 Û 100x = 2800 => x = 28
+ Ta có: CK = CD.cos600 = 40.= 20 ; 
DK 
 Ta có : FK = 40 – y, áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông DFK ta có :
 DF2 = DK2 + FK2 = (40 – y)2 + ( )2 
Û y2 = 1600 – 80y + y2 + 1200 Û 80y = 2800 => y = 35
+ Kẻ EH ^AF, ta có : AH = EA.cos 600 = 28. = 14
HF = y – 14 = 35 – 14 = 21
EH = x.sin600 = 28. 
=> EF = 
Vậy : DE = 28 ; DF = 35, EF = 
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25