Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS - Năm học 2010 - 2011 môn thi: Toán - Đề 7

MA TRẬN 
Nội dung – chủ đề
Mức độ
Tổng
Thụng hiểu
Vận dụng thấp
Vận dụng cao
KQ
TL
KQ
TL
KQ
TL
Số học
C3
5
1
5
Đại số
C5
 2
C1,2
 8
3
 10
Hỡnh học
C4
5
1
 5
Tổng
1
5
2
7
2
8
5
20
PHềNG GD&ĐT CHIấM HOÁ
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS 
NĂM HỌC 2010-2011
Thời gian: 150 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1: ( 4 điểm)
 1.Cho biểu thức 
a) Rỳt gọn A.
b. Tỡm cỏc số nguyờn của a để A là số nguyờn.
Cõu 2: ( 4 điểm)
Giải cỏc phương trỡnh sau :
a) 
b) 
Cõu 3: (5 điểm):
 1. Chứng minh: m5 – 5m3 – 20 m chia hết cho 24 ( Với mọi m Z)
 2.Chứng minh : Với mọi số tự nhiờn n thỡ an = n(n + 1)(n +2 )(n + 3) + 1 là số chớnh 	phương
Cõu 4: (5 điểm):
1. Cho hai hàm số y = a1x +b1 (1) và y = a2x + b2 (2) xác định a1 , b1 , a2 , b2 biết điểm M( 1 ; 3) và N( -1 ; -1 ) thuộc đồ thị của hàm số(1) 
điểm P( 1 ; 1) và Q( -1 ; 5 ) thuộc đồ thị của hàm số (2) 
2. Với a1 b1 a2 , b2 vừa tìm được gọi A là giao điểm của hai đồ thị hàm số (1) và (2) , B , C lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số (1) và đồ thị hàm số (2) với trục hoành 
a) Tỡm cỏc cạnh của tam giỏc ABC 
b) Tính diện tích tam giác ABC
Cõu 5: (2 điểm):
 Cho hai số a, b thỏa món a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng:
(a + b)2 ≤ 4.
PHềNG GD&ĐT CHIấM HOÁ
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MễN THI : TOÁN
Cõu1: (4 điểm):
 1.Cho biểu thức 
a) Rỳt gọn A.
 TXĐ: (0,5đ)
 (0.5đ)
 (0,5đ)
 (0,5đ)
b) Tỡm cỏc số nguyờn của a để A là số nguyờn.
 Giả sử . Để (0,5đ)
 là ước của 3 (0,5đ)
 (1đ)
Cõu2: (4 điểm):
1.Giải cỏc phương trỡnh sau :
a) (1)
Dựng phương phỏp chia khoảng ta cú 
 (2đ)
Kl: Phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x =2
b)
 (2đ)
Kl: Phương trỡnh cú nghiệm duy nhất x =2
Cõu3: (5 điểm):
1. Chứng minh: m5 – 5m3 – 20 m chia hết cho 24 ( Với mọi m Z)
 Ta cú P= m5 – 5m3 – 20 m = m5 – 5m3 – 24 m + 4 m
 = m (m4 – 5m2 + 4) – 24 m (1đ) 
 = ( m - 2)(m - 1) m (m + 1)(m + 2) – 24 m (1đ) 
Rừ ràng 24 m 24 với mọi số nguyờn m.
( m - 2)(m - 1) m (m + 1)(m + 2) là tớch của 5 số nguyờn liờn tiếp. Trong 5 số nguyờn liờn tiếp chắc chắn phải cú ớt nhất hai số chẵn liờn tiếp nờn tớch đú chia hết cho 8 và ớt nhất trong tớch cú một thừa số chia hết cho 3. Do đú:
( m - 2)(m - 1) m (m + 1)(m + 2) 8.3 =24 với mọi số nguyờn m. (1đ) 
Vậy P = m5 – 5m3 – 20 m chia hết cho 24 ( Với mọi m Z)
2. Ta có an = n(n + 1)(n +2 )(n + 3) + 1 = ( n2 + 3n )( n2 + 3n + 2) +1 
= ( n2 + 3n )2 + 2(n2 + 3n) +1 = ( n2 + 3n + 1)2	 (2đ)
Với n là số tự nhiên thì n2 + 3n + 1 cũng là số tự nhiên theo định nghĩa => an là số chính phương
Cõu4: (5 điểm):
1. Vì M( 1 ; 3) và N( -1 ; -1 ) thuộc đồ thị của hàm số (1) nên ta có 
Vì điểm P( 1 ; 1) và Q( -1 ; 5 ) thuộc đồ thị của hàm số (2) nên ta có (2đ)
Vậy y = 2x +1 (1) y = -2x +3 (2) 
2. a) Giao điểm A của hai đồ thị hàm số (1) và (2) là nghiệm của hệ 
Tương tự ta tìm được B( ; 0) C ( ; 0)
 Ta tiến hành vẽ hai đồ thị hàm số (1) và (2) trờn cựng một hệ trục tọa độ
y
3
2
1
x
1
O
 (3đ)
Căn cứ vào đồ thị 
Áp dụng định lớ Pi Ta Go ta cú :
AB2 = BH2 +AH2 => AB =
AC2 = CH2 +AH2 => AC= mặt khỏc dựa vào đồ thị ta thõý BC=2
b) Diện tớch tam giỏc ABC 
Cõu5: (2 điểm):
Cho hai số a, b thỏa mún a3 + b3 = 2. Chứng minh rằng (a + b)2 ≤ 4.
Ta cú: a3 + b3 > 0 ị a3 > –b3 ị a > – b ị a + b > 0	 (1)
(a – b)2(a + b) ≥ 0 ị (a2 – b2)(a – b) ≥ 0 ị a3 + b3 – ab(a + b) ≥ 0
ị 	a3 + b3 ≥ ab(a + b) ị 3(a3 + b3) ≥ 3ab(a + b) 
ị 	4(a3 + b3) ≥ (a + b)3 ị 8 ≥ (a + b)3 ị a + b ≤ 2 (2)
Từ (1) và (2) ị 0 (a + b)2 ≤ 4. (đpcm)