Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh lớp 9 THCS - Năm học 2010 - 2011 môn thi: Toán - Đề 9

PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1(4đ): Chứng minh rằng: M = a4 + 6a3 + 11a2 + 30a 
Chia hết cho 24 với mọi số nguyên a 
Câu 2(4đ): a) Giải phương trình .
 	b) Giả sử hệ phương trình có nghiệm . 
Chứng tỏ không đổi. 
Câu 3(4đ): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số có đồ thị là (G). Trên đồ thị (G) lấy hai điểm A, B có hoành độ lần lượt là và .
 	a) Vẽ đồ thị (G) và viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B.
 	b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d).
Câu 4(6đ): a) Cho một điểm P ngoài đường tròn tâm O, kẻ tiếp tuyến PA với đường tròn. Từ trung điểm B của đoạn PA kẻ cát tuyến BCD (C nằm giữa B và D). Các đường thẳng PC và PD lần lượt cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E và F. Chứng minh DCE = DPE + CAF và tam giác PBC đồng dạng với tam giác DBP.
	b) Cho tam giác ABC thỏa điều kiện BC > CA > AB. Trong tam giác ABC lấy điểm O tùy ý. Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm O trên các đường thẳng BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
OI + OJ + OK < BC
Câu 5(2đ): Giải hệ phương trình: . 	
Hết
Họ và tên thí sinh:........................................................Số báo danh...........................
Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.
PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011
MÔN THI : TOÁN
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
Ta có: M = a4 + 6a3 + 11a2 + 30a = a4 + 6a3 + 11a2 + 6a + 24a 
 = a(a3 + 6a2 + 11a + 6) + 24a = a(a + 1)(a2 + 5a + 6) + 24a 
 = a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 24a.
Vì: a là số nguyên => a; (a + 1); (a + 2); (a + 3) là 4 số nguyên liên tiếp 
=> a(a + 1)(a + 2)(a + 3) chia hết cho 4! = 24 và 24a chia hết cho 24 với mọi số nguyên a nên M chia hết cho 24 với mọi số nguyên a.
1,0đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
1,0đ
Câu 2
a) Điều kiện .
0,25đ
PT. 
0,5đ
 . 
0,5đ
Suy ra:. 
0,5đ
KL: Nghiệm PT là 
0,25đ
b) . 
0,5đ
Trừ (2) cho (1) ta được: 
1,0đ
KL : không đổi.
0,5đ
Câu 3
a) HS vẽ đúng đồ thị .
0,5đ
Ta có: .
0, 5đ
PT đường thẳng AB: .
1,0đ
b) Nhận xét tam giác OAB vuông tại O.
0,5đ
 Hạ OH vuông góc với AB .
0,5đ
 KL: Khoảng cách cần tìm là .
1,0đ
Câu 4
 a) 
0,5đ
sđ DCE = sđ DE, sđ DPE = sđ(DE - CF), sđ CAF = sđ CF 
0,5đ
 Do đó sđ(DPE + CAF) =sđ(DE - CF + CF) = sđ DE
0,5đ
Vậy: DCE = DPE + CAF
0,25đ
Ta có: BA2 = BC . BD nhưng BA = BP
0,5đ
Do đó: PBC = PBD
0,5đ
Vậy: tam giác PBC và DBP đồng dạng
0,25đ
b) 
0,5đ
Vẽ các tia AO, BO, CO lần l;ượt cắt BC, CA, AB tại D, E, F ta có:
(1)	OI £ OD ; OJ £ OE ; OK £ OF
0,5đ
Qua O vẽ các đường thẳng song song với AB và AC lần lượt cắt BC tại các điểm X và Y. Qua X vẽ đường thẳng song song với CF cắt AB tại M; qua Y vẽ đường thẳng song song với BE cắt AC tại L. Ta có các kết quả sau:
0,5đ
(2) 	OE = YL ( OELY là hình bình hành); OF = XM
0,25đ
(3) DOXY » D ABC Þ OX < OY < XY mà 2OD < OX+OY Þ OD < XY
0,25đ
(4) DMBX » D FBC Þ MX < BX (vì DFBC cũng có cạnh BC lớn nhất)
0,25đ
(5) DLYC » D EBC Þ YL < YC (vì DEBC cũng có cạnh BC lớn nhất)
0,25đ
Từ 5 kết quả suy luận trên ta được:	
OI + OJ + OK £ OD + OE + OF < XY + YC + XM = BC	
0,5đ
Câu 5
Ta có hệ phương trình :
 .
Vậy hệ phương trình chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất: (x ;y ;z) = (0 ;0; 1).
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
MA TRẬN ĐỀ 
Nội dung – Chủ đề
Mức độ
Tổng
Thông hiểu
Vận dụng thấp
Vận dụng cao
KQ
TL
KQ
TL
KQ
TL
Số học
C1
4
1
4
Đại số
C2a,C3a
4
C3b
2
C2b,C5
4
5
10
Hình học
C4a
3
C4b
3
2
6
Tổng
2
4
3
9
3
7
8
20