Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009 môn thi: Toán, lớp 12 THPT

Equation Chapter 1 Section 1
Sở giáo dục và đào tạo
 bắc giang
Đề chính thức
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009
Môn thi: Toán, lớp 12 THPT
Ngày thi: 05 tháng 04 năm 2009
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I (5 điểm)
 Cho hàm số với m là tham số.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.
Khi m = 2, tìm trên đồ thị (C) của hàm số (1) hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua đường thẳng d: y = 2x +
Câu II (4 điểm)
 1. Giải phương trình (x R)
 2. Giải phương trình 	 (x R)
Câu III (5 điểm)
 1. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1). Tìm tọa độ các điểm B thuộc đường thẳng 
 d: y = 3 và C thuộc Ox sao cho tam giác ABC đều.
 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = b, SA (ABCD) 
 và SA = a.
 a) Gọi E là trung điểm CD. Tính khoảng cách từ S đến BE theo a, b.
 b) Gọi α, β, γ lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (SBD) với các mặt phẳng (SAB), (SAD)
 và (ABD). Chứng minh rằng cos α + cos β + cos γ 
Câu IV (4 điểm) 
 1. Tính tích phân I =	
 2. Tìm các giá trị của x trong khai triển Niutơn của biết rằng số 
 hạng thứ sáu trong khai triển đó bằng 21 và 
Câu V (2 điểm)
 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. 
 Chứng minh rằng 
..........................................Hết..........................................
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên học sinh ....................................................số báo danh.......................................
Sở giáo dục và đào tạo
 bắc giang
Đề chính thức
Đáp án-thang điểm đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009
Môn thi: Toán, lớp 12 THPT
Ngày thi: 05 tháng 04 năm 2009
Đáp án-thang điểm có 4 trang
Chú ý: Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.
Câu
Phương pháp giải – kết quả
điểm
Câu I
5 điểm
1. (2 điểm) TXĐ của hàm số là R\. 
Đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x khi hệ phương trình ẩn x
 có nghiệm
 có nghiệm x ≠ 1
Trừ vế theo vế của (2) và (3) ta được (m -1)x = m(m - 1).
Nếu m = 1 phương trình có nghiệm x = 1(loại)
Nếu m ≠ 1 thì hệ (2) và (3) luôn có nghiệm x ≠ 1 (thỏa mãn).
Vậy m ≠ 1 thì d tiếp xúc với đồ thị hàm số (1)
0,25
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
2. (3 điểm) m = 2 hàm số (1) trở thành có đồ thị là (C).
 Gọi A(xA; yA) B(xB; yB) (C) và đối xứng nhau qua d.
 Vì AB d nên phương trình AB có dạng y = x + n
 xA, xB là nghiệm của phương trình
 , x ≠ 1.
Theo Vi-et ta có 
Gọi I là trung điểm AB xI = .
Do A, B đối xứng qua d nên I d 
Với n = 4 thì xA; xB là nghiệm phương trình x2 -3x = 0 
Vậy các điểm cần tìm là (0; 4) và (3; ).
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu II
4 điểm
1. (2 điểm) Điều kiện x 1.
Với điều kiện đó phương rình đã cho tương đương với 
Vì x 1 nên VT(1) ≤ và VP(1) > 2
 Nên (1) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2. 
0,5
0,5
0,25
0,5
0,25
2. (2 điểm) Điều kiện sin2x 0 
 Nếu cot x > 0 phương trình đã cho trở thành
Nếu cot x < 0 phương trình đã cho trở thành
 cos x = -1 (l).
KL ...
0,25
0,5
0,25
0,5
0,25
0,25
Câu III
5 điểm
1. (2 điểm) Vì B d B(a; 3) và C Ox C(b; 0). 
 ABC đều AB2 = BC2 = CA2
 (Điều kiện a, b 1)
 Đặt b -1 = t(a - 1) do b - 1 0 
 Hệ phương trình trở thành 
Chia vế thêo vế của hai phương trình của hệ ta được 
+) thay vào hệ được kết quả: vô nghiệm.
+) thay vào hệ ta thu được 
Vậy các điểm cần tìm là 
 hoặc 
0,25
0,5
0,5
0,25
0,25
0,25
2. (3 điểm) 
 a) (1 điểm) Tính được khoảng cách từ S đến BE bằng .
 b) (2 điểm) H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (SBD) 
 Học sinh chứng minh được H là trực tâm tam giác SBD.
 Gọi các đường cao của tam SBD là SM, BN, DP
 Từ đó ta có α = 
 Ta có cos
 Tương tự ta chứng minh được: 
 Mặt khác ta chứng minh được 
 Suy ra 
 Ta dễ dàng chứng minh được =3
 Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
1 đ
0,5
0,25
0,25
0,5
0,5
Câu IV
4 điểm
1. (2 điểm) Ta có I = 
 +) I1 = 
 Đặt x = -t, ta tính được I1 = 0.
 +) I2 = = = 
Vậy I = I1 + I2 = . 
0,5
0,5
0,75
0,25
2. (2 điểm) Điều kiện 10 - 3x > 0 , n 3, n N.
 Số hạng thứ 6 trong khai triển Niutơn củanhị thức là:
 (1)
 Theo giả thiết (chỉ có n = 7 thỏa mãn). 
 Với n = 7 thì (1) trở thành 
 Giải phương trình trên ta được x = 2 hoặc x = 0
Kết luận: ...
0,25
0,25
0,5
0,5
0,5
Câu V
2 điểm
Do x, y, z dương nên theo BĐT Cô - si, ta có
=
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = .
0,5
0,5
0,5
0,5
Equation Chapter 1 Section 1
Sở giáo dục và đào tạo
 bắc giang
Đề chính thức
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009
Môn thi: Toán, lớp 12 BTTH
Ngày thi: 05 tháng 04 năm 2009
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I (5 điểm) 
 Cho hàm số y = x3 + (m-1)x2 - m (1), với m là tham số.
Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
Câu II (4 điểm)
 1. Giải phương trình (x R)
 2. Giải hệ phương trình (x, y R)
Câu III (5 điểm) 
 1. Cho hai đường tròn (C): x2 + y2 - 10x = 0 và (C’): x2 + y2 + 4x - 2y - 20 = 0.
 a) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C) và (C’), có tâm nằm trên
 đường thẳng y = x + 3.
 b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C) và (C’).
 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA (ABC) và SA = 
 Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC) theo a.
Câu IV (4 điểm) 
 1. Tính tích phân 	
 2. Tìm hệ số của x8 trong khai triển Niutơn của nhị thức 
 biết rằng 
Câu V (2 điểm) 
 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 
..........................................Hết..........................................
 Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên học sinh ....................................................số báo danh.......................................
Sở giáo dục và đào tạo
 bắc giang
Đề chính thức
Đáp án-thang điểm đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2009
Môn thi: Toán, lớp 12 BTTH
Ngày thi: 05 tháng 04 năm 2009
Đáp án-thang điểm có 4 trang
Chú ý: Dưới đây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho điểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì chấm điểm từng phần tương ứng.
Câu
Phương pháp – kết quả
Điểm
Câu I
5 điểm
1. (2 điểm) TXĐ R
 Ta có y’ = 3x2 + 2(m-1)x. 
 phương trình y’ = 0 luôn có nghiệm x = 0 với mọi m.
 y’‘= 6x + 2m - 2
 y’‘(0) = 2m - 2
 +) Nếu 2m -2 = 0 m = 1 thì y = x3 không có cực trị
 +) Nếu 2m - 2 > 0 m > 1 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 (thỏa mãn)
 +) Nếu 2m -2 < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = 0 (không thỏa mãn)
Vậy m > 1 là các giá trị cần tìm. 
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
2. (3 điểm) Đồ thị hàm số (1) cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi 
 phương trình (ẩn x) x3 + 2(m - 1)x2 - m = 0 có ba nghiệm phân bệt
 (x - 1)(x2 + mx + m) = 0 có ba nghiệm phân biệt 
 f(x) = x2 + mx + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1
 .
KL...
0,5
0,5
0,5
1
0,5
Câu II
4 điểm
1. (2 điểm) Điều kiện .
 Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với
KL... 
0,5
1
0,5
2. (2 điểm) Đặt S = x + y; P = xy (ĐK: S2 4P)
 Hệ đã cho trở thành (thoả mãn)
 Với S = 5, P = 6 ta được 
Với S = 6, P = 5 ta được 
Kết luận...
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
Câu III
5 điểm
1. a) (1,5 điểm) Tọa độ các giao điểm của (C) và (C’) là nghiệm của hệ
 Suy ra (C) và (C’) cắt nhau tại hai điêm A(1; -3) và B(2; 4).
Trung điểm của AB là M(), trung trực của AB có vtpt 
Suy ra phương trình đường trung trực của AB là x + 7y - 5 = 0.
Vì đường tròn đi qua các điểm A, B nên tâm I của đường tròn đó thuộc trung trực của AB.
Vậy tọa độ tâm I của đường tròn cần tìm là nghiệm của hệ
 I(-2; 1).
Bán kính của đường tròn đó là IA = 5.
Phương trình đường tròn cần tìm là (x + 2)2 + (y - 1)2 = 25. 
b) (1,5 điểm) Gọi d là tiếp tuyến chung cần tìm 
 Đường tròn (C) có tâm K(5; 0) bán kính R = 5
 Đường tròn (C’) có tâm K’(-2; 1) bán kính R’ = 5
 Ta có KK’ = 
 Do đó (C) và (C’) cắt nhau. (C) và (C’) có bán kính bằng nhau.
 (C) và (C’) có hai tiếp tuyến chung ngoài song song với KK’.
 d có vtcp 
 Vậy phương trình d có dạng x + 7y + c = 0.
 d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi khoảng cách từ K đến d bằng R
Vậy phương trình tiếp tuyến chung cần tìm là:
 x + 7y -5 - = 0 và x + 7y - 5 + = 0.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
2. (2 điểm)
 Gọi I là trung điểm BC AI BC (vì ABC đều)
 Mà SA (ABC) SA BC BC (SAI).
 Hạ AH SI AH (SBC) AH là khoảng cách từ A đến (SBC).
 Do ABC đều cạnh a nên AI = .
 Trong tam giác vuông SAI có 
 KL ...
0,5
0,5
0.25
0,5
0,25
Câu IV
4 điểm
1. Đặt t = xdx = - tdt
 Đổi cận: x = 0 t = 1
 x = 1 t = 0.
 Khi đó ta suy ra 
Kết luận...
0,5
1
0,5
2. (2 điểm)Theo bài ta có (ĐK: n N)
 .
 Với n = 12 nhị thức là .
 Số hạng tổng quát thứ k + 1 trong khai triển Niutơn là 
Vậy hệ số của x8 trong khai triển Niutơn là 
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu V
2 điểm
Ta dễ dàng chứng minh được với a, b dương ta có: (*)
 áp dụng (*) ta có 
 (1)
Tương tự ta chứng minh được
 (2)
 (3)
Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức cùng chiều (1), (2), (3) ta được
 P = 
Đẳng thưc xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = Vậy Max P = 2.
0,75
0,5
0,25
0,25
0,25