Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm 2012 lớp 9 THCS môn Toán

UBND tỉnh Thái Nguyên Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Sở Giáo dục & Đào tạo Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
Tháng 3 / 2012
MôN: Toán
(Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề)
Đề chính thức	
Bài 1. Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không là số chính phương. 
Bài 2. Giải phương trình và hệ phương trình sau:
	a, + = 1
	b, 
Bài 3. ChoABC có 3 góc đều nhọn. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếpABC; R, r theo thứ tự là độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp ABC; M, N, P lần lượt là hình chiếu vuông góc của O trên AB, BC và AC.
	a, Chứng minh: BN . OM + BM . ON = BO . MN
	b, Đặt ON = d1 ; OM = d2 ; OP = d3 . 
	 Tính R + r theo d1 , d2 , d3 ?
Bài 4. Lấy một số tự nhiên có 2 chữ số chia cho số có 2 chữ số viết theo thứ tự ngược lại thì được thương là 4 và dư 15. Nếu lấy số đó trừ đi 9 thì được một số bằng tổng bình phương của 2 chữ số tạo thành số đó. Tìm số tự nhiên ấy?
-------------- Hết ---------------
Họ tờn thớ sinh:..........................................................Số bỏo danh:.........................
áp án Đ1
UBND tỉnh Thái Nguyên Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Sở Giáo dục & Đào tạo Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
Tháng 3 / 2012
hớng dẫn chấm toán 9
Bài 1: 3,5 điểm
C1: Gọi 5 số nguyờn liờn tiếp là n-2, n-1, n, n+1, n+2 với n nguyờn, dễ thấy tổng cỏc bỡnh phương của 5 số đú là 5(n2 + 2) chia hết cho 5 nhưng khụng chia hết cho 25 nờn khụng thể là số chớnh phương.
C2: Xột tớnh chẵn lẻ của 5 số nguyờn liờn tiếp đú.
Bài 2: a. 3,5 điểm
 Đặt a = 
	 b = 	
Ta có : 	
	 a3 + a2 - 2a = 0 	
	 a ( a2 + a -2) = 0 	 	 
Hệ ( I ) có ba nghiệm : ( 0 ; 1) ; ( 1 ; 0) ; ( -2 ; 3) 
nên phương trình đã cho có nghiệm : 2 ; 1 ; 10 
b, 3,5 điểm
 Từ (1) ; (2) ta có : (x – z)(x – y + z) = 0 (4) 	
Từ (2) và (3) ta có: ( y - x)(x + y –z) = 0 (5)	 
Từ (3) ; (4) ; (5) ta có hệ : 	
Để giải hệ trên ta giải 4 hệ 
Giải 4 hệ trên ta được 8 bộ nghiệm của hệ phương trình :
	(1; 1; 1) ; ( -1;-1; -1 ) ; ; 
	 ; ; ; 
A
0
B
N
O
d1
M
P
E
d3
d2
C
Bài 3: 6 điểm
	a, Ta có BMO = BNO = 900 
=> OMBN là tứ giác nội tiếp 
Trên BO lấy E sao cho BME = OMN 
 	=> BME NMO 
 	=> 	 
=> BM . NO = BE . NM 
Chứng minh tương tự BN. OM = OE .MN 
Cộng theo từng vế BM .ON +BN . ON = MN . BO 	
b. Đặt a , b , c là độ dài các cạnh BC , AC , AB của ABC 
 theo câu a ta có d1. + d2 = R . 	 
	áp dụng câu a đối với các tứ giác OMAP , ONCD ta có 
d1. + d3. = R. 	
d3 . + d2 . = R. 	
Cộng theo từng vế :
 	. ( a+b+c) = . ( d1b + d2b + d3c + d3a + d1a + d2c) 
	mặt khác SABC = . ( a+b +c ) = .( d1c + d3b + d2a ) 	 
	Do đó ( R + r )( a+b+c) = ( a+b+c)( d1+d2+d3)	 
	hay R + r = d1 + d2 + d3 	 
Bài 4: 3,5 điểm
	Gọi số phải tỡm là ab (a , b ϵ N; 1≤ a, b≤ 9)
 Ta cú hệ 
 C1 : Từ (1) ta thấy nếu b≥2=>4ba+15≥4.21+15
=>ab≥99	
=>ab=99 => a = b = 9 khụng thỏamón (1) và (2)
 Vậy b = 1 thay b = 1 vào (2) ta được:
	 a1 – 9 = a2 + 1
 ú 10a + 1 – 9 = a2 + 1
 ú a2 – 10a + 9 = 0
 a1 = 1; a2 = 9
 (*) a = 1 => a = b loại
 (*) a = 9 => ab = 91 thỏa món (1)
 91 = 4 * 19 + 15
 Vậy: Số phải tỡm là 91
C2: Từ hệ trờn cú thể dựng PP thế để giải. Rỳt 1 ẩn từ PT (1) thế vào PT (2) ta sẽ được một PT bậc 2. Giải PT bậc 2 đú sẽ tỡm được nghiệm.
Chỳ ý: - Học sinh làm theo cỏch khỏc mà đỳng vẫn cho điểm tối đa.
	 - GK cú thể bàn để thống nhất điểm cho từng phần nhỏ của mỗi bài.
------------------------------------------------------------------------------