Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Phú Thọ lớp 9 THCS năm học 2007-2008 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ 
 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
ĐỀ CHÍNH THỨC
NĂM HỌC 2007-2008
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
CÂU 1 (2 điểm) 
a) Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên.
b) Cho (1) và (2), tính giá trị của tổng
CÂU 2 (2 điểm)
Giải hệ phương trình
CÂU 3 (2 điểm)
Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của tổng 
CÂU 4 (2 điểm)
Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) và (O; r) (R > r). Gọi P là một điểm cố định trên (O; r) và B là một điểm trên (O; R). Đường thẳng qua P và vuông góc với PB cắt (O; r) tại A, đường thẳng PB cắt (O; R) tại C và cắt (O; r) tại điểm thứ hai D. Chứng minh rằng khi điểm B di chuyển trên đường tròn (O; R) thì: 
a) Tổng AB2 + BC2 + CA2 không đổi. 
b) Trung điểm M của đoạn thẳng AB luôn luôn thuộc một đường tròn cố định.
CÂU 5 (2 điểm)
Xét các tam giác ABC có chung cạnh BC cố định và có đỉnh A nằm trên đường thẳng d cố định song song với BC. Gọi I là một điểm nằm trong tam giác và x, y, z lần lượt là khoảng cách từ I đến các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Đặt
a) Cố định đỉnh A của tam giác ABC, xác định vị trí điểm I để P đạt giá trị nhỏ nhất. 
b) Xác định tam giác ABC để P đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Hết
Họ và tên thí sinh ..................................................................... SBD ............
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ 
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2007-2008
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN
(Đề chính thức, ngày thi: 06 tháng 3 năm 2008)
I. Một số chú ý khi chấm bài
· Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.
· Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
· Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.
II. §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm
CÂU 1 (2 điểm). 
 a) Chứng minh rằng phương trình không có nghiệm nguyên.
b) Cho (1) và (2), tính giá trị của tổng
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
a) Ta có
(x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y) = 200720082009 + 3xy(x + y)
0,25 điểm
Suy ra (x + y)3 chia hết cho 3 và do đó x + y chia hết cho 3. 
0,25 điểm
Từ đó có x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y) 9. 
0,25 điểm
Vì x3 + y3 chia hết cho 9, còn số 200720082009 không chia hết cho 9 nên phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. 
0,25 điểm
b) Từ (1) có 
0,25 điểm
Do đó (3)
0,25 ®iÓm
Tõ (1), (2), (3) cã 
0,25 ®iÓm
Từ , do đó a2007 = a2008. 
Tương tự có b2008 = b2008, c2009 = c2008. Do đó
0,25 điểm
BÀI 2 (2 điểm). Giải hệ phương trình
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
Dễ thấy hệ phương trình nhận (0; 0; 0) làm nghiệm. 
0,25 điểm
Ngoài ra, nếu một trong các ẩn nhận giá trị 0 thì các ẩn còn lại cũng nhận giá trị 0. Do đó ta chỉ còn phải tìm các nghiệm (x; y; z) với x, y, z khác 0.
0,25 điểm
Từ (1) và (2) có (4)
0,50 điểm
Thay (4) vào (3) được 
0,25 điểm
Thay x = 60 vào (4) được 5z = 180, do đó z = 36 
0,25 điểm
Thay x = 60 vào (1) được 
0,25 điểm
Nghiệm (x; y; z) của hệ là: (0; 0; 0) và (60; 48; 36)
0,25 điểm
BÀI 3 (2 điểm)
Cho a, b, c là các số dương thoả mãn đ/kiện . Tìm giá trị lớn nhất của tổng 
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
Ta có 
0,25 điểm
Suy ra 
0,25 điểm
Tương tự và 
0,25 điểm
Do đó (1)
0,25 ®iÓm
L¹i cã 
0,25 ®iÓm
Do đó 
0,25 điểm
Suy ra (2)
0,25 ®iÓm
Tõ (1) vµ (2) cã 
Khi a = b = c = 1 c¸c ®¼ng thøc trªn ®Òu xÈy ra vµ . VËy
0,25 ®iÓm
BÀI 4 (1 ®iÓm). Cho hai ®­êng trßn ®ång t©m (O; R) vµ (O; r) (R > r). Gäi P lµ mét ®iÓm cè ®Þnh trªn (O; r) vµ B lµ mét ®iÓm trªn (O; R). §­êng th¼ng qua P vµ vu«ng gãc víi PB c¾t (O; r) t¹i A, ®­êng th¼ng PB c¾t (O; R) t¹i C vµ c¾t (O; r) t¹i ®iÓm thø hai D. Chøng minh r»ng khi ®iÓm B di chuyÓn trªn ®­êng trßn (O; R) th×: 
a) Tæng AB2 + BC2 + CA2 kh«ng ®æi. 
 b) Trung ®iÓm M cña ®o¹n th¼ng AB lu«n lu«n thuéc mét ®­êng trßn cè ®Þnh.
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
a) Ta có 
 T = AB2 + BC2 + CA2
 = (AP2 + PB2) + (2CP + PD)2 + ((PA2 + (PD + CD)2)
 = AP2 + PB2 + 4CP2 + 4. CP. PD +PD2 + PA2 + PD2 + 2PD.CD + CD2
 = 2AP2 + 2PD2 + 6CP2 +6.CP. PD
 = 8r2 + 6. PC(PC + PD)
 = 8r2 + 6. PC. CD (1)
0,50 ®iÓm
Gäi E, F lµ giao ®iÓm cña tia CO vµ (O; r) víi E n»m gi÷a C vµ O. Khi ®ã cã 
 CP. CD = CE. CF = (R - r)(R + r) = R2 - r2 (2) 
0,25 ®iÓm
Thay (2) vµo (1) ®­îc T = 8r2 + 6(R2 - r2) = 6R2 + 2r2 (kh«ng ®æi)
0,25 ®iÓm
Chó ý: Trong hai ý a) vµ b) lµm ý nµo tr­íc còng ®­îc
b) Gọi I là trung điểm của OC, K là trung điểm của OP, ta có:
2.IK = CP và IK // CP; 2.OM = BD và OM // BD
0,50 điểm
Vì CP = BD nên IK = OM, IK = OM, do đó IKMO là hình bình hành. Suy ra
KM = IO = 
0,25 điểm
Vì P và O cố định nên K cố định. Do đó, khi điểm B di chuyển trên đường tròn (O; R) thì M luôn luôn thuộc đường tròn (K; ) cè ®Þnh.
0,25 ®iÓm
BÀI 5 (2 điểm). Xét các tam giác ABC có chung cạnh BC cố định và có đỉnh A nằm trên đường thẳng d cố định song song với BC. Gọi I là một điểm nằm trong tam giác và x, y, z lần lượt là khoảng cách từ I đến các cạnh BC = a, CA = b, AB = c. Đặt
 a) Cè ®Þnh ®Ønh A cña tam gi¸c ABC, x¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm I ®Ó P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. 
 b) X¸c ®Þnh tam gi¸c ABC ®Ó P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã.
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
a) Ta có 
0,50 điểm
Suy ra ax + by + cz là hằng số không phụ thuộc vào vị trí điểm I. Ta có
0,50 điểm
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z, nghĩa là I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó 
0,50 điểm
b) Từ đề bài suy ra các tam giác đang xét có diện tích không đổi như nhau. Lấy D đối xứng với C qua d. Đường thẳng BD cắt d tại A/ . Khi đó mọi tam giác có cạnh BC và đỉnh A thuộc d, ta có
Dấu đẳng thức có được khi A trùng với A/, khi đó tam giác ABC cân tại A.
0,25 điểm
Gọi h là khoảng cách từ d đến BC, ta có h không đổi. Khi đó tính được
0,25 điểm
Hết