Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Phú Thọ lớp 9 THCS năm học 2008-2009 môn Toán

 Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Phó Thä 
 kú thi chän häc sinh giái cÊp tØnh líp 9 THcs
n¨m häc 2008-2009
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có một trang
CÂU 1 (2 điểm) 
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
CÂU 2 (2 điểm)
Giải phương trình .
b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức 
.
CÂU 3 (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu các số x, y, z có tổng là một số không âm thì 
 b) Cho m, n là các số thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
CÂU 4 (1.5 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
CÂU 5 (2,5 điểm)
Cho đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R. Từ điểm P trên tia tiếp tuyến Bt của đường tròn, vẽ tiếp tuyến thứ hai PA (A là tiếp điểm) với đường tròn. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, E là giao điểm của PC và AH. Đường thẳng qua E và song song với BC cắt OA tại F.. 
	a) Tính AH theo R và khoảng cách d = PO. 
	b) Chứng minh rằng khi P di chuyển trên tia Bt thì F luôn thuộc một cung tròn cố định.
Họ và tên thí sinh ..................................................................... SBD ............
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2008-2009
MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có 5 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
· Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.
· Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
· Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.
II. §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm
CÂU 1 (2 điểm) 
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
.
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
Phương trình đã cho tương đương với
.
0,25 ®iÓm
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t, gi¶ sö (*)
0,25 ®iÓm
- Nếu thì (loại).
0,25 điểm
- Nếu thì phương trình đã cho trở thành
.
 Hay .
0,25 ®iÓm
 Do (*) nªn chØ cã tr­êng hîp 2x - 1 = 5 vµ 2y - 1 = 1, suy ra x = 3 vµ y = 1
0,25 ®iÓm
- NÕu th× ph­¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh
 .
0,25 ®iÓm
 Do (*) nên chỉ có trường hợp x - 1 = 2 và y - 1 = 1, suy ra x = 3 và y = 2.
0,25 điểm
Nghiệm là: (3 ; 2 ; 1), (3 ; 1 ; 2), (2 ; 3 ; 1), (2 ; 1 ; 3), (1 ; 3 ; 2), (1 ; 2 ; 3).
0,25 điểm
CÂU 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình .
b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức 
.
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
 Nghiệm của phương trình: 
0,25 điểm
b) Ta có 
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
 = 1
0,25 điểm
CÂU 3 (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu các số x, y, z có tổng là một số không âm thì 
 b) Cho m, n là các số thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
§¸p ¸n
biÓu ®iÓm
a) (1,25 điểm). Ta có
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
 (Do giả thiết x + y + z 0 )
0,25 điểm
Suy ra và do đó 
0,25 điểm
 b) Từ và giả thiết suy ra .
0,25 điểm
Do đó 
0,25 điểm
Áp dụng BĐT với a, b không âm, đấu đẳng thức có khi a = b, ta có.
Kết luận: , đạt được khi .
0,25 ®iÓm
CÂU 4 (1.5 điểm)
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình (m là tham số). Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất.
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
b) Với mọi m, đường thẳng (d) không đi qua gốc toạ độ O(0; 0).
 m = 4, ta có đường thẳng y = 1, do đó khoảng cách từ O đến (d) là 1 (1).
 m = 3, ta cã ®­êng th¼ng x = -1, do ®ã kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn (d) lµ 1 (2).
0,50 ®iÓm
 m 4, m 3 th× (d) c¾t trôc Oy, Ox lÇn l­ît t¹i
 vµ . 
0,25 ®iÓm
Hạ OH vuông góc với AB, trong tam giác vuông AOB, ta có
.
0,50 điểm
Suy ra (3).
Từ (1), (2), (3) ta có GTLN của OH là , đạt được khi và chỉ khi m =.
Kết luận: m =.
0,25 ®iÓm
CÂU 5 (2,5 ®iÓm)
Cho ®­êng trßn t©m O, ®­êng kÝnh BC = 2R. Tõ ®iÓm P trªn tia tiÕp tuyÕn Bt cña ®­êng trßn, vÏ tiÕp tuyÕn thø hai PA (A lµ tiÕp ®iÓm) víi ®­êng trßn. Gäi H lµ h×nh chiÕu cña A lªn BC, E lµ giao ®iÓm cña PC vµ AH. §­êng th¼ng qua E vµ song song víi BC c¾t OA t¹i F.. 
	a) TÝnh AH theo R vµ kho¶ng c¸ch d = PO. 
	b) Chøng minh r»ng khi P di chuyÓn trªn tia Bt th× F lu«n thuéc mét cung trßn cè ®Þnh.
§¸p ¸n
biÓu ®iÓm
a) Ta có 
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Có 
0,25 điểm
b) Ta có AH // PB (vì AH, PB cùng vuông góc với BC) (1)
0,25 ®iÓm
Lại có AC // PO (vì AC, PO cùng vuông góc với AB) nên hai tam giác vuông AHC và PBO đồng dạng (2)
0,25 ®iÓm
Mà CB = 2.BO nên AH = 2. EH hay E là trung điểm của AH.
0,25 điểm
EF // OH suy ra F là trung điểm của AO .
0,25 điểm
Nên F thuộc đường tròn cố định tâm O bán kính .
0,25 ®iÓm
Khi P di chuyển trên tia Bt thì F thuộc cung MN cố định của đường tròn tâm O, bán kính (phần nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa tia Bt).
0,25 ®iÓm
Hết