Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Phú Thọ lớp 9 THCS năm học 2009-2010 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2009-2010
ĐỀ CHÍNH THỨC
 Môn Toán
 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
 Đề thi có 01 trang
Câu 1 (4 điểm) 
a) Chứng minh rằng A = (2n - 1)(2n + 1) chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n.
b) Tìm số các số nguyên n sao cho B = n2 – n + 13 là số chính phương ?
Câu 2 (5 điểm)
Giải phương trình 
b) Giải hệ phương trình
Câu 3 (3 điểm)
Cho ba số x, y, z thoả mãn:
 .
Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 4 (6 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB cố định, AB = . Điểm P di động trên dây AB (P khác A và B). Gọi (C; R1) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A, (D; R2) là đường tròn đi qua P và tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại B. Hai đường tròn (C; R1) và (D; R2) cắt nhau tại điểm thứ hai M.
a) Trong trường hợp P không trùng với trung điểm dây AB, chứng minh OM//CD và 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh khi P di động trên dây AB thì điểm M di động trên đường tròn cố định và đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định N.
c) Tìm vị trí của P để tích PM.PN lớn nhất ? diện tích tam giác AMB lớn nhất?
Câu 5 (2 điểm)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 670. Chứng minh rằng
----------------------------- HẾT ------------------------------
Họ và tên thí sinh ..................................................................... SBD .............................
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2009-2010
MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có 6 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
· Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.
· Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
· Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.
II. §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm
C©u 1 (4 điểm) 
a) Chøng minh r»ng A = (2n - 1)(2n + 1) chia hÕt cho 3 víi mäi sè tù nhiªn n.
b) T×m sè c¸c sè nguyªn n sao cho B = n2 – n + 13 lµ sè chÝnh ph­¬ng ?
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
a) Theo giả thiết n là số tự nhiên nên: 2n – 1, 2n , 2n + 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp. 
0,5 điểm
Vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên
 (2n - 1).2n.(2n + 1) chia hết cho 3
0,5 điểm
Mặt khác (2n, 3) = 1 nên chia hÕt cho 3 
VËy A chia hÕt cho 3 víi mäi sè tù nhiªn n
0,5 điểm
 b) Ta thấy B là số chính phương 4B là số chính phương
Đặt 4B = k2 (kN) thì 4B = 4n2 – 4n + 52 = k2 (2n-1-k)(2n-1+k) =-51
1,0 điểm
Vì 2n-1+k 2n-1-k nên ta có các hệ 
0,5 điểm
Gi¶i hÖ (1), (2), (3), (4) ta t×m ®­îc n = -12, n = -3, n = 13, n = 4
VËy c¸c sè nguyªn cÇn t×m lµ n 
1,0 điểm
Câu 2 (5 điểm)
a) Giải phương trình
b) Giải hệ phương trình
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
a) Ta có: nªn tËp x¸c ®Þnh cña ph­¬ng tr×nh lµ R
0,5 điểm
Phương trình đã cho tương đương với
Đặt thì phương trình đã cho trở thành
 (thoả mãn điều kiện)
1,0 điểm
Với y = 1 ta có 
 x = 1
Với y = 3 ta có
VËy ph­¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm x1 = 1, x2 = -1, x3 =3.
1,0 điểm
b) Hệ đã cho tương đương với
 (*)
1,0 điểm
Từ hệ (*) ta suy ra
 (I) hoặc (II)
0,5 điểm
Giải hệ (I) ta tìm được (x; y) = ( 2; -1), (-2; 1)
Hệ (II) vô nghiệm
Vặy hệ có nghiệm (x; y) = ( 2; -1), (-2; 1).
1,0 điểm
Câu 3 (3 điểm) 
Cho ba số x, y, z thoả mãn:
Tính giá trị của biểu thức: 
§¸p ¸n
biÓu ®iÓm
Từ giả thiết suy ra x, y, z khác 0 và
0,5 điểm
0,5 ®iÓm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
 nên P = 0
0,5 điểm
Câu 4 (6 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB cố định, AB = . §iÓm P di ®éng trªn d©y AB (P kh¸c A vµ B). Gäi (C; R1) lµ ®­êng trßn ®i qua P vµ tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O; R) t¹i A, (D; R2) lµ ®­êng trßn ®i qua P vµ tiÕp xóc víi ®­êng trßn (O; R) t¹i B. Hai ®­êng trßn (C; R1) vµ (D; R2) c¾t nhau t¹i ®iÓm thø hai M.
a) Trong tr­êng hîp P kh«ng trïng víi trung ®iÓm d©yAB, chøng minh OM//CD vµ 4 ®iÓm C, D, O, M cïng thuéc mét ®­êng trßn.
 b) Chøng minh khi P di ®éng trªn d©y AB th× ®iÓm M di ®éng trªn cung trßn cè ®Þnh vµ ®­êng th¼ng MP lu«n ®i qua mét ®iÓm N cè ®Þnh.
 c) T×m vÞ trÝ cña P ®Ó tÝch PM.PN lín nhÊt ? diÖn tÝch tam gi¸c AMB lín nhÊt?
ĐÁP ÁN
BIỂU ĐIỂM
a) Nối CP, PD ta có ACP, OAB lần lượt cân tại C, O nên CPA =CAP =OBP do đó CP//OD (1) 
 Tương tự DBP, OAB lần lượt cân tại D, O nên DPB =DBP =OAB 
nên OC//DP (2). Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ODPC là hình bình hành
0,5 điểm
Giả sử CD cắt MP tại H cắt OP tại K thì K là trung điểm của OP
Theo tính chất 2 đường tròn cắt nhau ta có CDMP vµ H lµ trung ®iÓm MP VËy HK//OM, do ®ã CD//OM 
0,5 điểm
Ta phải xét 2 trường hợp AP BP, đáp án chỉ yêu cầu xét 1 trường hợp giả sử AP < BP 
Vì tứ giác OCPD là hình bình hành nên OD = CP = CM = R2 nên tứ giác CDOM là hình thang cân.
Vậy 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc một đường tròn.
0,5 điểm
b) Xét tam giác AOB có: nên tam giác AOB vuông cân tại O
 Vì 4 điểm C, D, O, M cùng thuộc 1 đường tròn (kể cả M trùng O) nên COD =CMD (1) 
0,5 điểm
Xét MAB vàMCD có
MAB =MCD (cùng bằng sđ của (C))
MBA =MDC ( cùng bằng sđ của (D))
nên MAB đồng dạng với MCD (g.g)
0,5 điểm
Vì MAB đồng dạng với MCD suy ra AMB =CMD (2) 
Từ (1) và (2) suy ra AMB =AOB = 
Do AB cè ®Þnh nªn ®iÓm M thuéc ®­êng trßn t©m I ®­êng kÝnh AB 
0,5 điểm
Ta có nên
AMP =ACP = (góc nội tiếp và góc ở tâm của (C))
BMP =BDP = (góc nội tiếp và góc ở tâm của (D))
Do đó MP là phân giác 
0,5 điểm
Mà AMB =AOB = 900 nên M ®­êng trßn (I) ngo¹i tiÕp tam gi¸c AOB 
0,5 điểm
Giả sử MP cắt đường tròn (I) tại N thì N là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm O nên N cố định
Vậy MP luôn đi qua điểm N cố định. 
0,5 điểm
c) MAP và BNP có MPA =BPN (đđ), AMP =PBN (góc nội tiếp cùng chắn 1 cung) nên MAP đồng dạng với BNP (g.g)
0,5 điểm
Do đó (không đổi)
Vậy PM.PN lớn nhất bằng khi PA = PB hay P là trung điểm dây AB
0,5 điểm
Vì tam giác AMB vuông tại M nên 
Diện tích tam giác AMB lớn nhất bằng khi PA = PB hay P lµ trung ®iÓm d©y AB
0,5 điểm
CÂU 5 (2 điểm)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn điều kiện: xy + yz + zx = 670. Chứng minh rằng
§¸p ¸n
biÓu ®iÓm
Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với a, b, c R và x, y, z > 0 ta có
 (*)
Dấu “=” xảy ra 
Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta có 
 (**)
 (luôn đúng)
Dấu “=” xảy ra 
Áp dụng bất đẳng thức (**) ta có
Dấu “=” xảy ra 
0,5 điểm
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 
 (1)
Chú ý: = , và
0,5 điểm
Chøng minh: 
 (2)
Do ®ã: 
 = (3) 
0,5 điểm
Từ (1) và (3) ta suy ra
Dấu “=” xảy ra x = y = z = . 
0,5 điểm
Hết