Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Phú Thọ lớp 9 THCS năm học 2011-2012 môn Toán

Së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o
Phó Thä 
kú thi chän häc sinh giái líp 9 THcs cÊp tØnh
n¨m häc 2011-2012
ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có một trang
Câu 1 (4 điểm) 
Tìm tất cả các số nguyên dương n đề hai số n + 26 và n – 11 đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó?
Câu 2 (3 điểm)
Giả sử a là một nghiệm của phương trình . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức 
Câu 3 (4 điểm)
a) Giải phương trình
b) Giải hệ phương trình
Câu 4 (7 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) ( A, B là các tiếp điểm) . Gọi D là điểm di động trên cung lớn AB ( D không trùng với A, B và điểm chính giữa của cung) và C là giao điểm thứ hai của đường tròn (O; R) với đường thẳng MD 
a) Giả sử H là giao điểm của đường thẳng OM với AB. CMR: MH.MO = MC.MD, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp HCD luôn đi qua một điểm cố định
b) CMR nếu dây AD song song với đường thẳng MB thì đường thẳng AC đi qua trọng tâm G của MAB
c) Kẻ đường kính BK của đường tròn (O; R). Gọi I là giao điểm của các đường thẳng MK và AB. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp MBI theo R, biết OM = 2R.
Câu 5 (2 điểm)
Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng
––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh .................................................................................... SBD ...................
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2011-2012
MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm thi đề chính thức có 5 trang)
I. Một số chú ý khi chấm bài
· Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết và hợp logic.
· Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
· Tổ chấm có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.
II. §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm
Đáp án
Điểm
Câu 1 (4 điểm) 
Tìm tất cả các số nguyên dương n đề hai số n + 26 và n – 11 đều là lập phương của hai số nguyên dương nào đó?
Ta có: n + 26 = a3 và n – 11 = b3 ( với a, b nguyên dương)
Vậy: a3 – b3 = 37 (a – b)( a2 + ab + b2 ) = 37
Vì a, b nguyên dương nên a2 + ab + b2 > 0 a – b > 0 mà a2 + ab + b2 > a – b
Nên: ( b = -4 (loại))
Vậy n = 38
0,50
1,00
0,50
1,50
0,50
Câu 2 (3 điểm)
Giả sử a là một nghiệm của phương trình . Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức 
Ta có: 
3,00
Câu 3 (4 điểm)
a) Giải phương trình
b) Giải hệ phương trình
a) ĐKXĐ: 
0,25
Ta có: 
Thay x=0 và x =1 vào (2) ta có nghiệm của phương trình là x =1
1,75
b) 
lấy (1) – (2): 
+) Với x = y: nghiệm của hpt là: (-1; -1), (1; 1)
+) Với 3x+2y = 0 ( không có nghiệm thỏa mãn) 
2,00
Câu 4 (7 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (O) ( A, B là các tiếp điểm) . Gọi D là điểm di động trên cung lớn AB ( D không trùng với A, B và điểm chính giữa của cung) và C là giao điểm thứ hai của đường tròn (O; R) với đường thẳng MD 
a) Giả sử H là giao điểm của đường thẳng OM với AB. CMR: MH.MO = MC.MD, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp HCD luôn đi qua một điểm cố định
b) CMR nếu dây AD song song với đường thẳng MB thì đường thẳng AC đi qua trọng tâm G của MAB
c) Kẻ đường kính BK của đường tròn (O; R). Gọi I là giao điểm của các đường thẳng MK và AB. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp MBI theo R, biết OM = 2R.
Hình vẽ: 
a) MH.MO = MA2
MAD và MCA đồng dạng nên: MC.MD = MA2
Vậy MH.MO = MC.MD 
Nên mà chung MCH và MOD đồng dạng
 nên tứ giác OHCD nội tiếp. 
Vậy đường tròn ngoại tiếp HCD luôn đi qua điểm O cố định
b) ABN và BCN đồng dạng nên BN2 = AN.CN
AMN và MCN đồng dạng nên MN2 = AN.CN (vì )
BN2 = MN2 hay BN = MN
c) Vì OM = 2R nên MA = MB = R, OH = R, MH = R
OAK đều nên KA = R
Ta có: AH = R
Vì AK//MH nên 
MI2 = IH2 + MH2 =R2 
Ta có: ( : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BMI.
Câu 5 (2 điểm)
Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn . Chứng minh rằng
Từ 
Đặt: x + y + z = 3
Ta có: 
 ( BĐT Cauchy)
Mà 
Mặt khác 
Nên: 
Vậy 
Dấu “=” xảy ra khi x=y=z=1 hay a = b = c = 1
––––––––––––––––––– Hết ––––––––––––––––––––