Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Phú Thọ lớp 9 THCS năm học 2012-2013 môn Toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề
Đề thi có 01 trang
Câu 1 (3,0 điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên 
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho chia hết cho 7.
Câu 2 (4,0 điểm) 
Rút gọn biểu thức 
Cho các số thực khác 0 thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Câu 3 (4,0 điểm) 
Cho phương trình (với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thoả mãn điều kiện 
Giải hệ phương trình 
Câu 4 (7,0 điểm) 
Cho đường tròn (O) đường kính , dây cung AC của đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn vuông góc với BD và cắt AC tại H. Gọi P, Q, R, S theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AD, CD, CB.
Chứng minh rằng không đổi.
Chứng minh tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp.
Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh M, N, P, Q lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông, gọi SABCD là diện tích của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng 
Câu 5 (2,0 điểm) 
	Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
---------- HẾT ---------- 
Họ và tên thí sinh:.........................................................; Số báo danh..................... 
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO
PHÚ THỌ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2012-2013
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN
Hướng dẫn chấm thi gồm 05 trang
I. Một số chú ý khi chấm bài
· Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.
· Thí sinh làm bài cách khác với Hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với biểu điểm của Hướng dẫn chấm.
· Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn số.
II. Đáp án và biểu điểm
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(3,0 điểm)
1) (1,5 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên 
Phương trình tương đương với
0,5
Vì nên , do đó có thể nhận các giá trị 
Từ đó tìm được 
0,5
Với 
Vậy phương trình ban đầu có 3 cặp nghiệm nguyên là:
0,5
2) (1,5 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho chia hết cho 7.
+ Với 
Ta có: 
Ta thấy: và không chia hết cho 7.
Vì vậy: 7|A khi và chỉ khi 
Tức là: 
0,5
+ Với 
Ta có: 
Ta thấy: và không chia hết cho 7.
Vì vậy: khi và chỉ khi 
Tức là: 
0,5
 Vậy với thì chia hết cho 7.
0,5
Câu 2
(4,0 điểm)
1) (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức 
Ta có: 
0,5
1,0
0,5
2) (2,0 điểm) Cho các số thực khác 0 thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Ta có: 
0,5
Đặt 
0,5
0,5
Chứng minh tương tự ta có: 
Từ (1) và (2) suy ra (đpcm).
0,5
Câu 3
(4,0 điểm)
1) (2,0 điểm) Cho phương trình (với m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thoả mãn điều kiện 
Xét phương trình (1)
Phương trình (1) có hai nghiệm Khi đó, (1) có hai nghiệm , theo định lý Viet ta có .
1,0
Do đó: .
Từ đó, ta có hệ phương trình .
0,5
Suy ra (thoả mãn điều kiện (2)).
Vậy là giá trị thoả mãn bài toán.
0,5
2) (2,0 điểm) Giải hệ phương trình 
Ta thấy không là nghiệm của hệ đã cho.
Với , Hệ phương trình Û. 
0,5
Đặt thay vào hệ trên ta được 
0,5
0,5
Từ đó tìm được các nghiệm của hệ đã cho là: 
0,5
Câu 4
(7,0 điểm)
1) (4,5 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính , dây cung AC của đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn vuông góc với BD và cắt AC tại H. Gọi P, Q, R, S theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AD, CD, CB.
 a) Chứng minh rằng không đổi.
 b) Chứng minh tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp.
●
B
A
Q
D
O
H
C
R
S
P
a) (2,0 điểm) Chứng minh rằng không đổi.
Ta có: 
1,0
Do đó: 
1,0
b) (2,5 điểm) Chứng minh tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp.
Tứ giác HPBS nội tiếp nên 
Tứ giác HPAQ là hình chữ nhật nên . 
1,0
Do đó, .
Tương tự .
1,0
Do nên .
Vậy tứ giác PQRS nội tiếp.
0,5
2) (2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh M, N, P, Q lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông, gọi là diện tích của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng:
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của QN, MN, PQ.
Trong tam giác vuông BMN có .
1,0
Trong tam giác vuông DPQ có ;
Trong tam giác NMQ có ;
Trong tam giác QNP có: .
1,0
Vì nên: 
 (đpcm).
0,5
Câu 5
(2,0 điểm)
(2,0 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
Chứng minh BĐT: Với là các số thực dương thì:
Suy ra: 
0,5
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
0,5
Chứng minh tương tự ta được:
0,5
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên lại ta có:
Vậy: 
0,5
-------------Hết-------------